Определение суммы и произведения двух матриц. Свойства этих операций

Определение суммы и произведения двух матриц. Свойства этих операций. Сложение матриц . Суммой двух матриц A и B (одинаковый размер: ) есть матрица такая, что для Запись С = A + B. Свойства: A + B = B + A (коммутативность). Док-во: Идея: поэлементное сравнение. Равенство матриц их элементы совпадают, т.е. C = A + B, то . , то . 2) (A + B) + C = A + (B + C) (ассоциативность). 3) 2. Умножение матрицы на число. Пусть . . Определение: - называется произведением (записывают ), если (все элементы A умножены на ). Вопрос: Свойства сложения и умножения на число: 1) (дистрибутивность). 2) 3) (ассоциативность). 4) 5) . 3. Умножение двух матриц. Матрицу можно умножить на матрицу если , т.е. число столбцов в первом множителе равно числу строк во втором. Определение: Матрица C называется произведением матрицы на матрицу , если . Запись: (порядок множителей важен!). . (9.1). Соответствующий элемент й строки матрицы A умножается на соответствующий элемент го столбца матрицы B, а затем произведения складываются. Свойства умножения двух матриц: 1) (вообще говоря). 2) . (ассоциативность). 3) . (связь умножения и транспонирования). 4) (связь умножения и сложения). 5) (определитель произведения). Теорема об ассоциативности произведения двух матриц. . Док-во: - левая часть, - правая часть. Поэлементно: . Подставляем (2) в (1): . Итак, Примеры некоммутативности произведения двух матриц. Если A и B – квадратные, то определена операция умножения. Для есть примеры некоммутирующих матриц: Теорема об определителе произведения квадратных матриц. Пусть A и B - квадратные матрицы порядка n, тогда . (Определитель произведения равен произведению определителей.) Док-во: 1 – й шаг: Рассмотрим вспомогательный определитель порядка 2n: . Применим теорему Лапласа к вычислению . Зафиксируем первые n строк, на этих строках строится единственный, не равный 0, минор, если выбрать первые n столбцов . 2 – й шаг: Преобразование . Цель преобразования: получить в блоке, где стояла B, нулевую матрицу. Работаем со столбцами: . Рассмотрим й столбец. Преобразование: . . Если , то после указанного преобразования го столбца, получаем столбец вида: . Описанные преобразования не меняли значения . Вычисляем по теореме Лапласа, фиксируя последние n строк. На этих строках существует единственный минор, отличный от нуля, соответствующий Тогда . 3 – й шаг: По 1 – му шагу: По 2 – му шагу: . ЧТД. Связь транспонирования и умножения матриц. . Док-во: , тогда . Поэлементно: Найдём элемент с номером в правой части равенства . , т.е. любой элемент правой части равен соответствующему элементу . ЧТД. Алгебра квадратных матриц. . Квадратные матрицы можно складывать, умножать в одном порядке, умножать на любую константу, в результате получаем вновь квадратные матрицы того же порядка. Говорят, что алгебра квадратных матриц. Единичная матрица и её свойства. «Единица в ». . называется единичной матрицей. Элементы матрицы обозначаются: , ( символ Кронекера). Свойства E: 1. . 2. . 3. Матрица E, обладающая свойством 2 – единственная. Док-во: (определитель диагональной матрицы): . тогда [единственное ненулевое слагаемое получаем, если ] , т.е. (Обратно по аналогии). Пусть некоторая другая матрица, обладающая свойством 2. ЧТД. Левая и правая обратные матрицы, их совпадение. «Обратный элемент» Определение: Матрица называется левой обратной к если . правая обратная, если . Утверждение: Если то A не имеет ни левую, ни правую обратные матрицы. Док-во: Пусть . От противного: пусть т.е. . Определитель от обеих частей: противоречие, т.е. нет левой обратной. Пусть . Показать по аналогии, что A не имеет . ЧТД. Определение: Если , то A – называется вырожденной, если , то A – невырожденная. Критерий равенства 0 определителя (критерий вырожденности матрицы): , когда его строка (столбец) – есть ЛК других строк (столбцов). Док-во: 1. - достаточность – свойство 6 определителя. 2. Если , то , т.к. единственный минор n – ного порядка равен нулю, следовательно все n строк (столбцов) матрицы A ЛЗ, значит ЛЗ систем. Одна из строк (один из столбцов) выражается линейно через остальные, т.е. является их ЛК. ЧТД. Вывод: вырождена Утверждение: Если имеет , то эти матрицы совпадают. Док-во: . ЧТД. Если A имеет правую и левую обратные, то они совпадают и называются обратная матрица к матрице A, обозначение: , т.е. . Связь обращения матрицы с умножением и транспонированием. Утверждение: Пусть . 1) 2) . (A,B – невырожденные матрицы.) Док-во: 1. A,B – невырожденные матрицы, невырожденная, и эта матрица единственная. (по определению обратной). A – невырожденная невырожденная матрица. . по определению обратной. ЧТД. Критерий существования обратной матрицы. Матрица A имеет обратную A – невырожденная. Док-во: Пусть , тогда A имеет и правую и левую обратные матрицы по утверждению (см. выше) она не может быть вырожденной . - достаточность. Пусть d = . . Составим матрицу: . Рассмотрим [Сумма произведений элементов й строки A на алгебраическое дополнение й строки] . . Рассмотреть и по аналогии доказать, что произведение равно . Матрица обладает свойством обратной матрицы, т.е. . - присоед-ая матрица. . ЧТД. Ранг произведения матриц. Утверждение: Пусть C = AB. . Ранг произведения матриц не превосходит минимума рангов множителей. Док-во: C = AB. 1. - система столбцов A, тогда . Столбцы матрицы C. выражение столбцов матрицы C через столбцы матрицы A. C, как система столбцов выражается через A как система столбцов 2. ранги матрицы и её транспонированной матрицы совпадают, значит по первому пункту доказательства: , т.е. выступает в качестве первого множителя, т.е. матрицы A в 1 – м пункте. Т.к. , то . Итак, . ЧТД. Решение матричных уравнений. СЛУ, используя правила произведения матриц, можно записать в виде: , где A – основная матрица системы, столбец переменных, столбец свободных членов. . Рассмотрим случай, когда A – квадратная невырожденная матрица, т.е. (rkA = n). . Умножим обе части уравнения на слева. Система определённая. Матричная запись формулы Крамера.

Похожие:

	Задача простейшая обработка матриц целых или вещественных чисел с... В ходе решения задач должны быть изучены, освоены и применяться основные простые компоненты C++ Builder		Контрольная работа Доказать равенства, используя свойства операций над множествами и определения операций. Проиллюстрировать при помощи диаграмм Эйлера-Венна...
	Дискретная математика Доказать равенства, используя свойства операций над множествами и определения операций. Проиллюстрировать при помощи диаграмм Эйлера-Венна...		Сибгути, до, Дискретная математика, К. Р Доказать равенства, используя свойства операций над множествами и определения операций. Проиллюстрировать при помощи диаграмм Эйлера-Венна...
	Решение. Преобразуем левую часть ...		Решение. Преобразуем левую часть Доказать равенства, используя свойства операций над множествами и определения операций. Проиллюстрировать при помощи диаграмм Эйлера-Венна...
	Там участвует декартово произведение множеств ...		Квадрат двучлена Образовательные: добиться осознанного понимания учащимися содержания формул «квадрат суммы» и «квадрат разности двух выражений»;...
	1 Доказать равенства, используя свойства операций над множествами... Доказать равенства, используя свойства операций над множествами и определения операций. Проиллюстрировать при помощи диаграмм Эйлера-Венна...		1 Доказать равенства, используя свойства операций над множествами... Доказать равенства, используя свойства операций над множествами и определения операций. Проиллюстрировать при помощи диаграмм Эйлера-Венна...