Решение нестандартных задач по математике




Скачать 83.19 Kb.
НазваниеРешение нестандартных задач по математике
Дата публикации18.07.2013
Размер83.19 Kb.
ТипРешение
shkolnie.ru > Математика > Решение
Методическое пособие

для обучающихся 10—11 классов
«Решение нестандартных задач по математике»

Автор – Трофимова А.В.,

учитель математики

МОУ СОШ № 25

Г. Ярославль

2013 год


ВВЕДЕНИЕ
Хорошо известно, что большая часть задач, предлагаемых на вступительных экзаменах по математике, имеют обычный, «школьный», вид и их решение может быть проведено с помощью известных привычных рассуждений и методов (формул). Однако отдельные задачи решению поддаются с большим трудом. Задачи такие называют нестандартными и бывают они разных видов. Некоторые из них выглядят необычайно лишь внешне, другие, наоборот, выглядят совершенно привычно, но решить и те, и другие обычными, хорошо известными приемами не удается. Нестандартные задачи задействуют практически все разделы школьной математики, но наибольшую известность и трудность приобрели задачи геометрические и задачи с параметрами. Перечислить же все особенности нестандартных задач просто невозможно.

Ниже, на примерах решения конкретных задач, излагаются некоторые методы решения задач повышенной трудности (нестандартных задач), которые после внимательного прочтения превратят эти задачи в стандартные (в какой-то мере), хотя, конечно, никакого общего метода решения задач повышенной трудности предложено не будет, да его и нет! В основном будут рассмотрены различные типы задач с параметрами и в конце будут предложены аналогичные задачи для самостоятельного решения с целью укрепления полученных навыков. Все задачи снабжены ответами.

^ ЗАДАЧИ ПО АЛГЕБРЕ
Задача 1. При каких а уравнение 6(ax – 1) – a = 2(a + x) – 7 имеют бесконечно много решений?
Решение. Преобразуем уравнение, выразив х как функцию от а:
6ах – 6 – а = 2а + 2х – 7 или 6ах – 2х = 3а – 1 или 2х(3а – 1 ) = 3а – 1.

Если а ≠ 1/3 , то 2х = 1 и х = 1/2.

Если а = 1/3 , то левая и правая части уравнения обращаются в 0 при любом х , т.е. х в этом случае – любое действительное число.
Ответ : а = 1/ 3.

Задача 2. При каких а система 2х + ( а + 1) = -1

(а – 2) х + 27у = 4,5

имеет бесконечно много решений?
Решение: Выразим х из первого уравнения через у и а и подставим во второе

2х = - 1 - ( а + 1 )у (второе уравнение предварительно умножим на 2: (а – 2)2х + 54у=9) и получим (а – 2)(-1 – (а + 1)у + 34у = 9

или 2 – а – (а + 1)(а – 2)у + 54 =9

или 2 –а – (а2 – а – 2)у + 54у =9

или (а2 – а – 2 – 54)у = (7 + а)

или у(а2 – а- 56) = (7 + а)

или у(а – 8)( а + 7)= (а + 7).

Если а = -7, то при любом у обе части равны 0 и бесконечно много пар (х;у) удовлетворяют уравнению .


Комментарий: дадим также геометрическую картину задачи: ах + ву = с есть уравнение прямой на плоскости. Поэтому у нас имеются две прямые на плоскости и бесконечно много решений может быть тогда, когда эти две прямые совпадут, т.е. первое и второе уравнения системы должны быть пропорциональны, т.е.
_2__ = __а+1_ = _-1_ = _-2__

а - 2 27 4,5 9 ( а ≠ 2); случаи а =2 рассматривается отдельно.
Итак: 18 = - 2а + 4 или а = -7 и 9а + 9 = -54 или а =-7 и а – единственно.


Задача 3. Найти все значения р такие, что корни уравнения (р – 3)х – 2( р + 3)х + р
+ 6 = 0 равны.
Решение: для выполнения условия необходимо и достаточно, чтобы Д(р) = 0, т.е.
(р + 3)2 – (р - 3)(р +6) = 0 или р2 + 6р + 9 – р2 – 3р + 18 = 0 или 3р = -27, р = -9.

Ответ: р = -9.

Задача 4. Найти такие значения а, при которых наибольшее значение функции

g( x )= 3ax2 - 2ax – 8 равно наименьшему значению функции

f(x) = 3x2 – 2ax – 4.
Решение: Обе функции параболы, у f(x) ветви при всех а направлены вверх, а у g(x) ветви будут направлены вниз при а < 0. Теперь воспользуемся производными: g’(x) = 6ax–

- 2a = 0, x = 1/3 ( при любом а) и

gmax = g(1/3) = 3a ∙ 1/9 – 1/3∙(2a) – 8 = a/3 – (2a)/3 – 8 = - a/3 – 8
f”(x) = 6x – 2a = 0 , x = a/3
fmin = 3∙ a2 /9 – 2a∙ a/3 – 4 = a2 /3 – 2a2 /3 – 4 = - a2 /3 – 4
Приравниваем fmin = gmax или а / 3 + 8 = а2 / 3 + 4 , а2 /3 – a/3 – 4 = 0

или а2 - а – 12 = 0, т.е. а = 4 или а = - 3. Т.к. а < 0, то a = -3.

Ответ: а = -3
Задача 5. Найти все значения х, для каждого из которых равенство х2 +│х – а│- 4 = 0 выполняется хотя бы при одном значении а из отрезка [-4; 2] .
Решение: Перепишем уравнение │х – а│ = 4 – х2 и сразу увидим, что -2 ≤ х ≤ 2.

На этом отрезке [-2;2] уравнение исходное равносильно совокупности двух уравнений

х – а = 4 – х2, х – а = х2 - 4. Найдем те х  [-2;2], каждое из которых является решением уравнения х – а = 4 – х2, где а [-4;2]. Т.к. уравнение можно записать в виде х2 + х – 4 = а, то искомые значения удовлетворяют системе - 2 ≤ х ≤ 2

-4 ≤ х2 + х – 4 ≤ 2
Решением этой системы служат два отрезка -2 ≤ х ≤ -1 или 0 ≤ х ≤ 2.

Теперь рассмотрим второе уравнение х – а = х2 - 4 на интервале 0< х <1 и запишем его так а = х(1 – х) + 4. Для всякого х (0;1) выполнено неравенство х(1 – х) + 4 > 4. Поэтому при а[-4;2] уравнение х – а = х2 - 4 на (0;1) решений не имеет. Окончательно получаем, что искомое множество значений удовлетворяет неравенствам
-2≤ х ≤ -1 или 0 ≤ х ≤ 2.
Ответ: -2 ≤ х ≤ -1 или 0≤ х≤ 2.

^ ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО АЛГЕБРЕ.
1. При каких значениях а система х + ау = -1

ах + у = 2а

не имеет решений.

Ответ: а=1
2. При каких значениях параметра а система уравнений 2х + ау = а + 2

(а + 1)х + 2ау = 2а + 4
имеет бесконечно много решений?

Ответ: а =3

3. При каких значениях а система уравнений не имеет решений
2х + (9а2 - 2)у = 3а

х + у = 1

Ответ: а = - 2/3

4. Найти все значения параметра а , при которых равенство ( х + 3)(а + 18) = 5(5ах + 90х

+ 54 +3а) выполнено при всех х.

Ответ: а = -18


5. Определить, для каких а неравенство log1/(a+1) (x2 + 2│a│ ) > 0 выполняется при

любом х.

Ответ: -1 < a < - ½


^ ЗАДАЧИ ПО ГЕОМЕТРИИ
Задача. Найти гипотенузу прямоугольного треугольника, периметр которого равен 2р, а высота, опущенная на гипотенузу , равна h.
Решение. Обозначим СВ = а, АС = b, АВ=с, СD ┴ АВ, СD = h

S(ABC) = ab/2, ch/2, ab = ch


A
Составим систему уравнений.
a + b + c = 2p a + b = 2p – c

a2 + b2 = c2 (a + b)2 = (2p – c)2

ab = ch a2 +2ab + b2 = 4p2 – 4pc + c2


D


2ch = 4p2 – 4pc


B
c (h + 2p) = 2p2


C


c = (2p2)/(h + 2p)
Ответ: __2__

h + 2p

Задача. Длины сторон прямоугольного треугольника образуют возрастающую

арифметическую прогрессию. Найти синус меньшего угла этого треу-

гольника.

Решение. Стороны треугольника образуют арифметическую прогрессию.

Обозначим : АВ = a + d, AC = a , тогда CB = a – d, d > 0 . По теореме Пифагора имеем:


A
(a + d)2 = a2 + (a – d)2

a = 4d

sin A = (a – d)/(a + d) = 3d / 5d = 0,6.

B
Ответ: 0,6.


C

Задача. Периметр ромба равен 28 см, а сумма длин диагоналей равна 18 см.

Найти площадь ромба.


C

B

Решение. Обозначим BD = d1 , AC = d2 , AD = a, a = 7.

AED- прямоугольный, т.к. диагонали ромба взаимно


E
перпендикулярны.

По теореме Пифагора имеем:

d12 /4 + d22 /4 = a2


A

D
d12 + d22 = 4a2 =4 * 49 = 196

d1 + d2 = 18 , (d1 + d2 )2 = d12 + d22 + 2d1d2 = 182


Площадь ромба S = d1 d2 / 2 = 32.

Ответ: 32 см2

Задача. Площадь треугольника АВС равна 1. На сторонах АВ, ВС, СА

взяты соответственно точки А1, В1, С1, так что АА1: А1В = 1 : 2,

ВВ1 : В1С = 1 : 3, точка С1 делит сторону АС пополам. Найти площадь

треугольника А1В1С1.


B




Решение. S(AA1C1) = ½ AA1 * AC1 sin A =


B1
= ½ AB/3 AC/2 sin A = 1/6 (1/2 AB AC sin A) =

= 1/6 S(ABC) = 1/6.


A1
Аналогично, S(A1BB1) = 1/6, S(BCC1) = 3/8.

S(A1B1C1) = S(ABC) – ( S(AA1C1) + S(A1BB1) +

+ S(B1CC1)) = 1 – ( 1/6 + 1/6 + 3/8) = 7/24.


A

C


C1
Ответ: 7/24.


Задача. В круге радиусом r проведена хорда длиной а (0 < a < 2r). Найти

площадь образовавшегося сегмента.
Решение. Угол АОВ равен α, АО = ОВ = r. S(сегмента АОВ) = S( сектора OAB) –

- S(AOB) = r2 /2 ∙ ( α - sin α ).

OC┴AB, AOC = COB= α /2, т.к. треугольник АОВ – равнобедренный.

sin α /2 = a/2r,




O
cos α/2 = √ 1 – a2 / (4r2) = √(4r2 - a2) / 2r,




sin α = 2 sin α /2 ∙ cos α /2 = a∙√4r2 - a2 /(2 r2)


C

A

B


α/2 = arcsin a /(2r); α = 2 arcsin a/ 2r.


α


Ответ: S( сегмента) = r2/2 ( 2∙ arcsin a/2r - a∙√4r2 - a2 / (2r2)

^ ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ГЕОМЕТРИИ.

1. В треугольнике АВС угол ВАС равен α. Если этот угол уменьшить в 2 раза, оставив длины сторон АВ и АС прежними, то площадь треугольника не изменится. Найти угол α в градусах.

Ответ. 120°


  1. Высоты треугольника равны 3 см, 4 см и 5 см. Найти его площадь.




Ответ. 3600 / √ 128639 см2


  1. В выпуклом равностороннем пятиугольнике АВСДЕ углы при вершине В и Е прямые. Найти площадь пятиугольника, если его сторона равна 2.




Ответ. 4 + √7



  1. Найти площадь треугольника, вписанного в окружность, если концы его стороны, равной 20 см, отстоят от касательной, проведенной через противолежащую вершину на 25 см и 16 см .


Ответ. 200 см2



  1. Точка касания окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, делит гипотенузу в отношении 2 : 3. Найти площадь треугольника, если расстояние от центра окружности до вершины прямого угла равно 2 √ 2.



Ответ. 24.


ЛИТЕРАТУРА

  1. Лысенко Ф.Ф., Кулабухов С.Ю. Математика. Подготовка к ЕГЭ-2012; учебно-методическое пособие / Под редакцией Ф.Ф. Лысенко, С.Ю.Кулабухова. – Ростов-на-Дону: Легион-М, 2011. – 416с.

  2. Шарыгин И.Ф., Голубев В.И. Факультативный курс по математике: Решение задач: Учебное пособие для 11 класса средней школы, М.: Просвещение, 1991

  3. Фадеев Д.К., Соломинский И.С., Сборник задач по высшей алгебре. М.: Наука, 1972.

  4. Моденов П.С. Сборник задач по специальному курсу элементарной математики. М.: Высшая школа, 1960.

Похожие:

Решение нестандартных задач по математике iconРешение олимпиадных задач по математике для учащихся 10-11-х классов...
Работа проводится в виде решения задач повышенной сложности и решения нестандартных задач
Решение нестандартных задач по математике iconРешение олимпиадных задач по математике для учащихся 10-х классов...
Работа проводится в виде решения задач повышенной сложности и решения нестандартных задач
Решение нестандартных задач по математике iconРешение нестандартных задач по теме: «Прогрессии»
Расширить систему методов решения задач с арифметической и геометрической прогрессиями
Решение нестандартных задач по математике iconКонспект внеклассного мероприятия, проведенного на тему: «Различные...
Цель: Повторить пройденный материал, закрепить новый материал, решение новых нестандартных задач, задействовать всех учеников в решении...
Решение нестандартных задач по математике iconУрок по математике в 3-м классе. Тема: «Решение задач на движение»
Учиться строить графические модели и использовать таблицы для краткой записи задач на движение
Решение нестандартных задач по математике iconРешение нестандартных показательных уравнений
Цель урока: рассмотреть использование свойств функций (особенно показательной функции) при решении нестандартных показательных уравнений,...
Решение нестандартных задач по математике iconРешение занимательных задач Вторник 2 марта «Прикладная математика»
Провести в каждом классе мероприятия, содействующие развитию познавательной деятельности учащихся, расширению знаний по математике,...
Решение нестандартных задач по математике iconУрок истории и математики
...
Решение нестандартных задач по математике iconАнализ качества выполнения олимпиадных задач по математике
Олимпиада по математике проводилась6марта 2012. в Угту. В ней приняли участие 120 учащихся 11-го класса г. Ухты, г. Сосногорска и...
Решение нестандартных задач по математике iconРешение задач по теме «Сплавы, растворы, смеси»
Цели урока: рассмотреть алгоритм решения задач на сплавы, смеси и растворы: познакомиться с приёмами решения задач в математике и...
Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2014
shkolnie.ru
Главная страница