Урок стереометрии в 10 классе. Тема: «Правильные многогранники»




Скачать 74.46 Kb.
НазваниеУрок стереометрии в 10 классе. Тема: «Правильные многогранники»
Дата публикации05.07.2013
Размер74.46 Kb.
ТипУрок
shkolnie.ru > Математика > Урок
ГОУ СОШ №539 «Школа здоровья».

Урок стереометрии в 10 классе.

Тема: «Правильные многогранники».

Учитель Лабзин Дмитрий Вадимович.

Цель урока: познакомить учащихся с правильными многогранниками: понятие, исторические сведения; показать применение знаний учащихся к решению задач по данной теме.

Возможно проведение данного урока силами учащихся.
Ход урока.

Учитель. Выпуклый многогранник называется правильным, если его гранями являются равные правильные многоугольники, и в каждой вершине сходится одинаковое число граней (слайд №2).

С некоторыми правильными многогранниками мы уже встречались. Это, например, правильная пирамида, куб. Сегодня мы рассмотрим и другие правильные многогранники.

^ I ученик. Тетраэдр (слайд №3). Название многогранника имеет древнегреческое происхождение. В них зашифровано число граней. «Эдра» - грань, «тетра» - четыре. Таким образом, тетраэдр в переводе с греческого означает четырехгранник.

Тетраэдр имеет 4 грани, 6 ребер, 4 вершины. Грани представляют собой треугольники. В одной вершине сходится 3 ребра.

Далее учащимся предлагается решить задачу: Найдите двугранные углы правильного тетраэдра.

Решение. Рассмотрим тетраэдр SDE (рис.1). Проведем апофемы SA, SB, SC. Рассмотрим прямоугольный треугольник SDA. Пусть ребро тетраэдра равно a. Тогда SD=a, DA = .

По теореме Пифагора:

.

А
S

E

B

F

A
налогично находим SB, SC.

Апофемы тетраэдра равны. АО = ОВ = ОС (проекции апофем на плоскость основания). Следовательно, О – центр вписанной окружности.

.

Рассмотрим прямоугольный треугольник SAO.






С


C


D


O

Рис.1.

^ II ученик. Куб (слайд №4). Другое название куба – гексаэдр. «Гекса» - шесть. У куба все грани квадраты, в каждой вершине сходится по три ребра. Куб представляет собой прямоугольный параллелепипед с равными ребрами.

Далее учащимся предлагается решить задачу: Дан куб ABCDA1B1C1D1 ребро которого равно 1. Найдите расстояние между диагональю куба BD1 и скрещивающейся с ней диагональю АС нижнего основания.


B1

C1

O1
Решение. и , следовательно


A1
, то есть любая прямая, проведенная


D1

A

B

K

C

D
в плоскости BDD1 через точку О, перпендикуляр-


O
на АС.




Проведем . Рассмотрим треугольник BDD1.

DD1=1, BD – диагональ квадрата ABCD со стороной 1, следовательно

BD =.


D1
По теореме Пифагора


B

O

D

K


и подобны, так как

угол В – общий, =90º.

Следовательно,



^ III ученик. Октаэдр (слайд №5). Гранями данного многогранника являются правильные треугольники. В каждой вершине сходятся четыре грани. Его поверхность состоит из восьми правильных треугольников, поэтому его называют октаэдром. «Окта» - восемь.

Далее учащимся предлагается решить задачу: Найдите угол между двумя ребрами правильного октаэдра, которые имеют общую вершину, но не принадлежат одной грани.


A

S

B

C

D

S
Решение. Найдем угол между ребрами SA и SC.

Пусть ребро октаэдра равно а.

Рассмотрим прямоугольный По теореме

Пифагора .

Рассмотрим (ребра октаэдра).



По теореме косинусов:



^ IV ученик. Додекаэдр (слайд №6). «Додека» - двенадцать. Имеет двенадцать пятиугольных граней, тридцать ребер и двадцать вершин (в каждой из них сходится 3 ребра).

По мнению древних, форму додекаэдра имела Вселенная, то есть они считали, что мы живем внутри небесного свода, имеющего форму поверхности правильного додекаэдра.

Далее демонстрируем репродукцию картины Сальвадора Дали «Тайная Вечеря» (слайд №7), на которой Господь наш Иисус Христос и Его ученики изображены сидящими внутри прозрачного додекаэдра.

V ученик. Икосаэдр (слайд №8). «Икоса» - двадцать. Итак, двадцать граней, тридцать ребер и двенадцать вершин.

Еще в III веке до Р.Х. древнегреческий математик Евклид (слайд №9) установил, что существует только пять типов правильных многогранников.

Соразмерность и красота правильных многогранников поражали пифагорейцев, и они называли их космическими телами. По-гречески слово «космос» означает «украшение», «порядок». Называют их так же платоновыми телами, потому что Платон связал с этими телами формы атомов основных стихий природы. В его учении атомы земли имели форму куба, атомы огня – форму тетраэдра, воздуха – октаэдра, воды – икосаэдра. «В запасе оставалось еще пятое многогранное построение (додекаэдр), - пишет Платон, - его Бог оставил для Вселенной и прибегнул к нему, когда разрисовывал ее и украшал».

^ IV ученик. Платоновы тела интересовали многих ученых (слайд №9). Евклид посвятил им 13-ю книгу своих «Начал». К ним обращались в своих трудах Рене Декарт, Иоганн Кеплер, Леонард Эйлер и другие математики. Этот интерес объясняется не только эстетическими соображениями, но и многими замечательными свойствами этих многогранников. Например, каждый из них можно вписать в сферу и около каждого из них можно описать сферу. Все они имеют жесткую форму – не обладают никакой подвижностью: с этим свойством сталкивался всякий, кто склеивал модель правильного многогранника. Знали об этом свойстве и античные математики, но доказал его для любого выпуклого многогранника только Огюст Коши.

I ученик. Рене Декарт, изучая правильные многогранники, обнаружил удивительную закономерность: если из числа вершин вычесть число ребер и к разности прибавить число граней, то в результате для каждого из тел Платона получится 2 (слайд №10).

В – Р + Г = 2.

С помощью таблицы учащиеся убеждаются в справедливости данного свойства.

Тела Платона

В

Р

Г

Тетраэдр

4

6

4

Куб

8

12

6

Октаэдр

6

12

8

Додекаэдр

20

30

12

Икосаэдр

12

30

20


В 1775 г. Эйлер доказал, что это справедливое свойство справедливо для произвольного выпуклого многогранника. В связи с этим число

χ = В –Р + Г получило название эйлеровой характеристики многогранника.

Учитель. Почему правильных многогранников только пять?

При каждой вершине правильного многогранника образуются многогранные углы. Они равны между собой, так как равны их плоские и двугранные углы. В каждой вершине сходится одно и то же число граней.

Пусть m – число граней. Грани представляют собой правильные n – угольники.

- сумма углов выпуклого n – угольника.

- один плоский угол выпуклого n – угольника.

Таких углов при одной вершине m.

Сумма таких углов при каждой вершине .

Мы знаем, что сумма плоских углов выпуклого многогранника при одной вершине меньше 360º, то есть



Учитывая, что m и n – целые и не меньше трех, найдем перебором все пары m и n удовлетворяющие последнему неравенству.



m

n

1

3

3

2

3

4

3

4

3

4

5

3

5

3

5


Таким образом, правильных многогранников только 5.

Далее учитель подводит итог урока, рекомендует дополнительную литературу по данной теме, задает домашнее задание.

Литература.

1. Виленкин Н.Я. и др. За страницами учебника математики: Кн. для учащихся 10-11 кл. общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение: АО «Учеб. лит.», 1996.

2. Газета «Математика» №26 за 1996 г.

3. Геометрия: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений/Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – М.: Просвещение, АО «Московские учебники», 2000.

4. Математика: Школьная энциклопедия/Гл. ред. С.М. Никольский. – М.: Научное издательство «Большая Российская Энциклопедия», 1996.

5. Погорелов А.В. Геометрия: Учеб. для 7-11 кл. сред. шк. – М: Просвещение, 1990.




Похожие:

Урок стереометрии в 10 классе. Тема: «Правильные многогранники» iconУрока стереометрии в 10 классе по теме «Правильные многогранники»
Цель урока: познакомить учащихся с правильными многогранниками: понятия, исторические сведения; показать применение знаний учащихся...
Урок стереометрии в 10 классе. Тема: «Правильные многогранники» iconПлан-конспект и презентация к уроку геометрии в 11 классе по теме «Правильные многогранники»
Муниципальное казенное вечернее (сменное) общеобразовательное учреждение «Вечерняя (сменная) общеобразовательная школа №4 при исправительной...
Урок стереометрии в 10 классе. Тема: «Правильные многогранники» iconИсследовательская работа по теме: «Правильные многогранники»
Введение. Историческая справка стр. 1
Урок стереометрии в 10 классе. Тема: «Правильные многогранники» iconКонспект урока по теме: «правильные многогранники»
Образовательные: введение понятия правильного многогранника, «открытие» всех правильных многогранников, изучение свойств правильных...
Урок стереометрии в 10 классе. Тема: «Правильные многогранники» iconМетодическая разработка урока «Начальные понятия стереометрии. Аксиомы...
Геометрия – сложный предмет и у большинства студентов возникают трудности в изучении многих разделов, а особенно трудно решаются...
Урок стереометрии в 10 классе. Тема: «Правильные многогранники» iconОбобщающий урок в 4 классе “Let’s look for treasure”
Грамматика, речка Фонемка, водопад Словечки, Львиные горы, Долина историй и дерево, где они находят клад (коробку конфет). На каждой...
Урок стереометрии в 10 классе. Тема: «Правильные многогранники» iconУрок литературы в шестом классе. Тема урока
...
Урок стереометрии в 10 классе. Тема: «Правильные многогранники» iconУрок по литературе в 5в классе Урок-путешествие Тема «М. Ю. Лермонтов «Бородино»
Тема «М. Ю. Лермонтов «Бородино». Историческая основа. Патриотический пафос стихотворения»
Урок стереометрии в 10 классе. Тема: «Правильные многогранники» iconУрок математики в 5 классе (урок проект)
Тема: Конструирование на основе геометрических фигур. Периметр и площадь многоугольников
Урок стереометрии в 10 классе. Тема: «Правильные многогранники» iconУрок-конференция Тема урока: «Систематика животных»
Интегрированный урок биологии в 7-м классе с углублённым изучением иностранных языков
Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2014
shkolnie.ru
Главная страница