«Иррациональность» по блокам: числа, уравнения, неравенства, и уметь применять к решению комбинированных заданий
Скачать 155.74 Kb.
|
| 1. Пояснительная записка. Проведение элективных курсов по математике развивает всё многообразие потребностей учащихся, ориентирует на выявление ярких способностей, их развитие, учитывает быстроту их реакции на освоение нового материала, глубину и остроту восприятия, постепенно формирует интерес к овладению определёнными направлениями науки, техники, культуры. Необходимо формировать систему ценностей, с которой молодой человек вступает в мир. Для человека, наряду с материальными ценностями, важны ценности интеллектуальные – знания, умение последовательно рассуждать, анализировать факты, обобщать их. Решая задачи, уравнения, неравенства школьник тренируется в точности и строгости рассуждений, учится искать различные пути выхода из создавшегося положения, привыкает преодолевать трудности. Дать в руки школьному учителю возможность поговорить с учащимися о том, что математика не стоит на месте и её развитие тесно связано с прогрессом других областей знания. Прогресс математики не может остановиться по той причине, что жизнь общества непрерывно изменяется и разные стороны её – техника, экономика, сельское хозяйство – не могут быть втиснуты в строгие рамки. Появляются новые технологии, новые типы технических систем и невиданные ранее производства. Их освоение нуждается в подробном изучении их особенностей. Обычно это требует новых методов исследования, постановок, не возникавших ранее задач, а значит творчества, открытий, научных поисков. Надо чтобы учащиеся усвоили простую мысль: без творчества нет развития, невозможен прогресс. Поэтому так важно, чтобы ещё в школьные годы учащимися овладело стремление создавать новое, критически познавать старое и постоянно думать о его совершенствовании. Математике в современной жизни отведено большое место, поэтому она должна развиваться, и учителя должны стремиться к тому, чтобы подготовить молодёжь к напряжённой систематической творческой работе, к познанию окружающего нас мира количественными методами. ^ диктуется формированием интереса учащихся к предмету математики и дальнейшему выбору профиля обучения в старших классах. Его основу составляет, прежде всего, практическая база предмета. ^ : знать основные теоретические инварианты по теме «Иррациональность» по блокам: числа, уравнения, неравенства, и уметь применять к решению комбинированных заданий. ^ 1. Знать основные теоретические инварианты, связанные с исключением иррациональности из знаменателя (числителя) иррациональной алгебраической дроби. 2. Знать основные теоретические инварианты, связанные с решением уравнений, содержащих один и более радикалов. 3. Знать основные теоретические инварианты, связанные с решением неравенств, содержащих один и более радикалов. 4. Уметь применять указанные инварианты при решении сложных уравнений и неравенств. 5. Радикал и параметр. Решение заданий по данной теме. Данная тема рассчитана на 16 часов. Предлагается для учащихся общеобразовательных школ. Содержание курса разбито на 3 блока, каждый из которых может быть использован как самостоятельный элективный курс. ^ Блок №1 «Иррациональные алгебраические выражения» Понятие об иррациональном числе. Иррациональные алгебраические выражения. Преобразования иррациональных алгебраических выражений. Понятие дробных иррациональных выражений. Исключение иррациональности из знаменателя (числителя) иррационального дробного выражения. Блок №2 «Решение иррациональных уравнений» Иррациональные уравнения, содержащие один радикал. Иррациональные уравнения, содержащие более одного радикала. Методы решения иррациональных уравнений: уединение радикала и возведение в степень, введение новой переменной (подстановка), уравнения, содержащие кубические радикалы, нестандартные способы решения уравнений. Системы иррациональных уравнений. Решение иррациональных уравнений с параметром. Блок №3 «Решение иррациональных неравенств» Иррациональные неравенства. Решение неравенств, содержащих один радикал. Рассмотрение случаев: строгое неравенство, нестрогое неравенство. Сведение неравенств к системе и совокупности. Решение неравенств, содержащих более одного радикала. Решение иррациональных неравенств с параметром. ^
^ 1. Денищева, Л. О. Глазков, Ю. А. Краснянская, К. А. Рязановский, А. Р. Семёнов, П. В. Единый государственный экзамен 2005 математика.Учебно-тренировочные материалы для подготовки к единому государственному экзамену./ Л. О. Денищева Ю.А. Глазков К. А. Краснянская А. Р. Рязановский П. В. Семёнов. – М.: Интеллект-Центр,2005. – 224 с. 2. Галицкий, М. Л. Мошкович, М. М. Шварцбурд, С. И. Углублённое изучение курса алгебры и математического анализа. Методические рекомендации и дидактические материалы: пособие для учителя. / М. Л. Галицкий М. М. Мошкович С. И. Шварцбурд.- М.: Просвещение,1990.– 352с. 3. Письменный, Д. Т. Математика для старшеклассников. / Д. Т. Письменный. – Владимир.:Айрис рольф, 1996. – 285 с. 4. Цыпкин, А. Г. Справочник по математике для средней школы./А. Г. Цыпкин. - М.: Наука, 2001. - 400 с. 5. Крамор, В.С. Алгебра и начала анализа. Система проведения занятий на подготовительных отделениях вузов./ В.С. Крамор. - М.: Высшая школа, 1981. - 336 с. Дидактическое сопровождение I. Понятие об иррациональном числе 1. При измерении отрезков, несоизмеримых с единицей длины, получается число, которое выражается бесконечной непериодической десятичной дробью. Такие числа называются иррациональными; например: 0,131331333125…. Известное в математике число ∏, число e (основание натуральных логарифмов) также являются числами иррациональными. 2. Другой пример, приводящий к понятию иррационального числа, даёт следующая теорема: «не существует рационального числа, квадрат которого равен двум». Иными словами, решение уравнения х2 – 2 невозможно на множестве рациональных чисел. Корнями такого уравнения являются иррациональные числа √‾2 и - √‾2. Пример: 1. ((5 √‾5)-2/3 – 81-0,25)((5√‾5)-2/3 + 81-0,25) =(5√‾5)-4/3-81-0,5= (53/2)-4/3 –(92)-0,5=5-2 -9-1=1/25 – 1/9=-16/225 Задания:
б) ¾ - √‾5; в) √‾2(-√‾5); г) √‾3 : ( - √‾3).
А) √‾(а+2)2 – 8а √‾а – 2/√‾а при а=0,0025. Б) х2 + 12 х – 14 при х = 5√‾2 – 6.
а)((ав)0,5 -1/в∙√‾ав)(а/в∙ (а/в)0,5 + в/а∙√‾в/а), если а>0, в>0; б) (х + у + х0,5 - 2 √‾ху - √‾у):(х0,5 – у0,5), если х>0, у>0; в) (х(7ху)0,5 – х2у√3/ху)(7х3у)0,5 – 2х(ху)0,5 + х2(3у/х)0,5), если х>0, у>0. II. Исключение иррациональности в знаменателе (числителе) иррациональной алгебраической дроби. Если знаменатель (числитель) дроби содержит иррациональное число или выражение (т. е. выражение, в котором имеются действия с корнями), то целесообразно избавится от последнего. Некоторые типичные случаи: 1. А_ = Аn√‾аn-1 = А n√‾аn-1 = А n√‾аn-1 , так как а>0. n√‾а n√‾а∙ n√‾аn-1 n√‾аn а 2. А = А(√‾а ±√‾в) = А(√‾а ± √‾в) . √‾а ± √‾в (√‾а ±√‾в)(√‾а +√‾в) а-в 3. А = А((√‾а +√‾в) +√‾с) и т.д. √‾а +√‾в - √‾с ((√‾а+√‾в)-√‾с)((√‾а+√‾в)+ √‾с) 4. Применяются также тождества сокращённого умножения. 5. Формула сложного радикала: √‾А±√‾В=√А+√‾А2-В ±√А-√‾А2-В 2 2 Примеры: 1. х√‾х+у√‾у (х-у) + √‾у =(√‾х +√‾у)(х-√‾ху + у) + √‾х+ √‾у √‾х+ √‾у (√‾х+ √‾у)(х-у) + √‾у =х-√‾ху+у + √‾у = х-√‾ху+у +√‾у(√‾х-√‾у)= √‾х+√‾у х-у √‾х+√‾у х-у =х-√‾ху+у+√‾ху-у = х . Х-у х-у 2. √(х+2)2-8х =√х2-4х+4 ∙√‾х= √(х-2)2∙√‾х=|х-2|√‾х; √‾х-2/√‾х √х2-2 х-2 х-2 А)х>2=>(х-2) √‾х=√‾х; б)0<х<2=>(2-х) √‾х = -√‾х. Х-2 х-2 Ответ: √‾х, если х>2; - √‾х, если 0<х<2. 3. √2в+2√‾в2-4 = √‾2√в+√‾в2-4 = √‾в2-4+в+2 √‾в+2(√‾в-2+√‾в+2) =√‾2√в+√‾в2-в2+4+√‾2√в-√‾в2-в2+4 = √‾2 (√‾в+2(√‾в-2+√‾в+2)) = √‾в+2+√‾в-2 = 1___. √‾в+2(√‾в-2+√‾в+2) √‾в+2 Задания:
1. а2-3______. Ответ:2а при а>√‾3 и -√‾3 <а<0; -2а √(а2+3)2/4а2-3 при 0<а<√‾3 и а <-√‾3. 2. √2а+2√‾а2-9 . Ответ: (а+√‾а2-9)/3. √2а-2√‾а2-9 3. 4√73√‾54 +153√‾128 . Ответ: 3/5. √‾44√‾32+ 3√‾9 4√‾162 III. Иррациональные уравнения Иррациональным уравнением относительно х называется уравнение, содержащее эту искомую величину под знаком радикала. Решение уравнения следует искать в ОДЗ для неизвестного. Примеры решения иррациональных уравнений:
1. √‾х3-3х+1=х-1. Уравнение равносильно системе х≥1, х≥1, х≥1, х3-3х+1=(х-1)2; <=> х(х2-х-1)=0; х=0, <=> х=0,5(1+√‾5) <=> х=0,5(1± √‾5); <=> (1+√‾5)/2. Ответ: (1+√‾5)/2. 2. √6-4х-х2=х+4. Возведём обе части уравнения в квадрат: 6-4х-х2=х2+8х+16; 2х2+12х+10=0; х2+6х+5=0; х1=-1; х2=-5. Проверка: при х=-1 √6-4(-1)-(-1)2=-1+4; при х=-5 √6-4(-5)-(-5)2≠-5+4. Ответ: -1. Задания: 1. √8-6х-х2 –х=6. Ответ: -2. 2. 2 √2+8=2х+1. Ответ: 7¾. 3. 2 √‾5-х2=х-1. Ответ: (1+4 √‾6)/5. 4. (х+4)(х+1)-3 √х2+5х+2=6. Ответ:2;-7.
1.Метод уединения радикала и возведение в степень. Пример: √‾15-х+√‾3-х=6. Уединим радикал √‾15-х=6- √‾3-х, отсюда следует 15-х≥0, 3-х≥0, 6-√‾3-х≥0 (*). Возводим обе части уравнения, получаем 15-х=36-12√‾3-х+3-х, 12√‾3-х=24, √‾3-х=2. Возводим в квадрат: 3-х=4, х=-1. Найденное значение х удовлетворяет соотношениям (*). Ответ: -1. Задания: 1. √‾х- √‾х+3=1. 2. √‾х-5+√‾х+3-√‾2х+4=0. 3. √‾1-4х+2=√х2-6х+9. 4. √‾х+5-√‾5-х=√‾х-1. 5. √‾2х-6+√‾х+4=5. 6. √х+√‾х-√х-√‾х=3/2√х/(х+√‾х). 7. √16-√‾х+1=4
Примеры: 1. х2+3х-18+4√х2+3х-6=0. Обозначим х2+3х-6=t≥0. Тогда получаем t-12+4√‾t=0, 4√‾t=12-t=> t≥0. (*) 12- t≥0. Возводим в квадрат: 16t=144-24t+t2, t2-40t+144=0, t1=36 – не удовлетворяет соотношению (*),t2=4. Итак, х2+3х-6=4, х1=-5, х2=2. Ответ: -5;2. 2. √х+8+2√‾х+7+√х+1-√‾х+7=4. Обозначим √‾х+7= t≥0, отсюда х+7≥0 и х= t2-7 и получаем: √t2-7+8+2 t+ √t2-7+1- t=4, √ t2+2 t+1+√ t2- t-6=4, | t+1|+ √t2- t-6=4, так как t≥0, то t+1≥0, поэтому √t2- t-6=4-t-1=>√‾t2- t-6=3-t => t2- t-6≥0, (**) З- t ≥0. Возводим в квадрат: t2- t-6=9- 6t+ t2, t=3 – удовлетворяет неравенствам(**), =>√х+7=3=>х+7=9, х=2. Ответ: 2. Задания: 1. 4/(3√‾х+2) +(3√‾х+3)/5=2. (3√‾х+2=t) 2. √‾х + 3√‾х =3 . (х=t6) √‾х - 3√‾х 3. √х2+х+4 +√ х2+х+1=√2х2+2х+9. (х2+х=t) 4. х+12√‾х-64=0.
Пример: √‾х+2 - 3√‾3х+2=0 => х+2≥0 (*) 3х+2≥0 Возводим в шестую степень: (х+2)3=(3х+2)2, х3-3х2+4=0, х3-3х2=0, группируем: (х3+1)-3(х2-1)=0, (х+1)(х2-х+1)-3(х-1)(х+1)=0, (х+1)(х2-4х+4)=0, х1=-1- не удовлетворяет соотношению (*), х2=х3=2. Ответ: х=2. 2. √‾2х-1-24√‾2х-1=3. Положив 4√‾2х-1=у, где у≥0, перепишем уравнение в виде у2-2у-3=0, у1=3, у2=-1- посторонний корень. Имеем: 4√‾2х-1=3, х=41. Ответ: 41. Задания: 1. 3√‾х+ 3√‾2х-3=3√‾12(х-1). 2. 3√‾10-х- 3√‾3-х=1. 3. 3√‾х+1 +3√‾7-х=2. 4. 3√‾2х-1+3√‾6х-1=3√‾2х+1. 5. 3√‾х-1+3√‾х+1=х3√‾2 6. 3√‾2-х=1-√‾х-1. 7. 5√‾(5х+2)3- 16 =6 . 5√(5х+2)3 8. √х5√‾х-5√х√‾х=56. 9. 3√‾х+1 +3√‾х+2 +3√‾х+3=0.
Примеры: 1. х2 + √‾2х+15=2х. √‾2х+15 Разделим обе части уравнения на х≠0: х + √‾2х+15=2. √‾2х+15 х Пусть х____=t, тогда t+1/ t=2=> t=1, т.е. х/(√‾2х+15)=1, √‾2х+15 √‾2х+15=х =>х>0, 2х+15 =х2, х1=5, х2=-3.Так как х2<0, то -3 не является корнем уравнения. Ответ: 5. 2. √3х2+5х+8 - √3х2+5х+1=1. Положим √3х2+5х+8 + √3х2+5х+1=t путём перемножения получаем 3х2+5х+8-3х2-5х-1=t, т. е. t=7. А теперь сложим равенства √3х2+5х+8 + √3х2+5х+1=7, √3х2+5х+8 - √3х2+5х+1=1. Получаем 2√3х2+5х+8 =8, т. е. √3х2+5х+8=4,х1=1, х2=-8/3 Ответ: 1, -8/3 Задания: 1. √‾х+5= х2-5. 2. √‾2-х=1-√‾х-1. 3. √(1+2х√‾1-х2)/2=1-2х2. 4. √3х2-1-√3х2+2х+1=√х2+2х+4-√х2-х+1. (Ответ: -1)
Пример: √‾х-1=х-а. Перепишем уравнение в виде: х-1-√‾х-1+1-а=0 (*) и рассмотрим его как квадратное относительно √‾х-1. Находим дискриминант уравнения D=4а-3. Уравнение (*) имеет решение только в случае, если а≥3/4. Имеем: √‾х-1=(1-√‾4а-3)/2 (**), √‾х-1=(1+√‾4а-3)/2(***). Заметим, что уравнение (**) имеет решение тогда и только тогда, когда 1-√‾4а-3 ≥0, т.е. при а≤1. Решив уравнения (**) и (***), получим при 3/4≤а≤1: х1=(2а+1-√‾4а-3)/2, х2=(2а+1+√‾4а-3)/2. Таким образом, приходим к следующему ответу: при 3/4≤а≤1 уравнение имеет два корня: х1 и х2; при а>1 уравнение имеет один корень: х2; при а<3/4 решений нет. Задания: 1. √‾3х-2+√‾х+2=а. Ответ: при а≥(2√‾6)/3 х=(2а2+4-а√3а2+16)/2, при а<(2√‾6)/3 решений нет. 2. √х2-ах+2=х-1. Ответ: при 2<а≤3 х=1/(а-2); при а≤2 и а>3 решений нет. 3. √‾2х-1 +√‾х+3=а. IV. Решение систем иррациональных уравнений. Пример: √‾х+3у+6=2, √‾2х-у+2=1. Возводим обе части каждого уравнения в квадрат, получим: х=3у+6=4, <=> х+3у=-2 Умножим обе части второго уравнения на 3, 2х-у+2=1; 2х-у=-1 тогда х+3у=-2, 6х-3у=-3; Сложим первое уравнение системы со вторым, получим: х=-5/7. Вычислим значения х: √-5/7+3у+6=2, 3у+5∕7=4, у=-3/7. Проверка: Подставляем значения переменных х и у в данную систему, получаем 2=2 и 1=1. Ответ: (-5/7; -3/7). Задания: 1. √‾х+ √‾у=5, 2. √‾х/у +√‾у/х=5/2, √‾х+√‾у=4 ; х+у=5; 3. √‾2х+у+2=3, 4. √‾х+у-3=1, √‾х+2у+5=у-х; √‾3х-2у+1=2 ; 5. √‾2х-3у+2=3, 6. √‾3у-2х-2=1, √‾3х+2у-5=2. √‾4х-2у+3=2 . 7. √‾х+у +√‾х+z=3 √‾у+ z +√‾ z +х=5 √‾z+х + √‾х+у=4 V. Решение иррациональных неравенств
С помощью методов решения иррациональных уравнений иррациональное неравенство можно свести к простейшему виду 2n√‾f1(х) > f2(х) или 2n√‾f1(х) Дальше рассуждаем примерно так. 1. f1(х) > 0, решаем это неравенство. 2. Изучаем правую часть исходного неравенства: А) если f2(х) <0, то решение примера заканчивается выписыванием ответа, полученного в п.1(левая часть заведомо больше правой). Б)если f2(х) ≥0, то обе части исходного неравенства возводим в степень 2n. Получаем f1(х) > (f2(х)) 2n, решаем это неравенство. 3. С учётом решения в п.1 выписываем ответ Примеры: 1. √‾х-1<3-х. Х-1≥0, х≥1, 3-х>0, <=> х<3, <=> 1≤х<2, х-1<(3-х)2 (х-2)(х-5)>0 Ответ:[1;2). 2. √‾х-1>3-х. Решение неравенства сводится к решению двух систем неравенств: Х-1≥0, Х-1≥0, 3-х<0, <=> (-3;+∞) 3-х ≥0 , <=> (2;3]. х-1 > (3-х)2 Объединяя эти множества, находим решение данного неравенства: (2; +∞). Ответ: (2; +∞). Задания: 1. √‾х2-4х>х-3. 3. √‾3-х>х-2. 5. х+1>√‾х+3. 2.√‾х+6 <х-5. 4. (х-1) √х2-х-2≥0. 6. х2-5х+6<3√‾(х-1)(х-4).
1.4/(√‾2-х ) - (√‾2-х ) <2. 2. √‾6-х≥√‾2х-1 - √‾х-1 3. √3х2-2х+15+ √3х2-2х+8<0. 4. √х2-9х+20≤√‾х-1. 5. (√4+3х-х2)/(2х+3) ≥(√4+3х-х2)/(х+3). 6. √‾3х+1- √‾4х-3> √‾х
Пример: 3√‾х-2 +3√‾3х-4=3√‾х. Возведём обе части уравнения в куб. Получим уравнение, равносильное данному: 4х-6+33√‾(х-2)(3х-4)(3√‾(х-2)+ 3√‾(2х-4)=х. Заменим выражение в скобках выражением 3√‾х. Получим: 3√‾(х-2)(3х-4)х=2-х (*). Это уравнение является следствием предыдущего, поэтому необходимо сделать проверку. Возведём в куб левую и правую части уравнения (*): х(х-2)(3х-4)=(2-х)3, х1=2, х2=1. Проверка показывает, что 1-посторонний корень. Ответ: 2. 1. 3 √х3+2х2-5х+3 <х.
1. √х2-9х+20≤√‾х-1≤√х2-13. 2. √2х2-3х+1> 2, 3. √х2-3х+3<√х2-2х+5, √х2-3х+2<3. √х2+3х-10>√х2-х+2. 4. √‾х +5 – 1 >0 √‾х +6 – 2
Примеры: 1. √‾2х-7>(х+5). Положим √‾2х-7=у. Тогда х=(у2-7)/2. Исходное неравенство примет вид: у2-4у+3<0. Имеем: 1<у<3, 1<√‾2х+7<3, 1<2х+7<9, -3<х<1. Ответ: (-3;1) 2.4/(√‾2-х) -(√‾2-х) <2 . Обозначим √‾2-х=у, у>0. Тогда получаем 4/у-у-2<0 => (4-у2-2у)/у<0. Так как у >0, то 4-у2-2у>0. Значит (у-(-1-√‾5))(у-(-1+√‾5) >0. Но у=√‾2-х. Значит, √‾2-х<-1-√‾5, а это не может быть, и √‾2-х >√‾5-1. 1. 2-х ≥0 => х≤2. 2. Правая часть положительна, возводим в квадрат: 2-х>(√‾5-1)2, т.е. 2-х>5-2√‾5+1, х<2√‾5-4. С учётом решения п.1 получаем (-∞,2√‾5-4). Ответ: (-∞,2√‾5-4). Задания: 1. 4√‾(2х+1)/(х+2) +4<4√‾(х+2)/(2х+1). 2. √‾х+2√‾х-1+√‾х-2√‾х-1>√‾х-1. 3. √‾9-3х+√‾4-х >√‾2х+25. VI. Уровневая контрольная работа. Вариант А. 1. Представьте выражение 2/(1+2√‾3) в виде дроби с рациональным знаменателем . 2. Найдите значение выражения √‾(а+2)2 – 8а √а – 2/√‾а при а=0, 09. 3. Решите уравнение √‾1-4х +2 = √х2-6х+9. 4.Решите неравенство √‾х+4<√х2+х+3. 5. Решите систему уравнений √х3+8 + 4√х3+8 = 6, √‾3+√‾5-х = √‾х. Вариант Б. 1. Решите уравнения: а) √‾х-1+√‾х-2√‾х-1=1; б)3√1+√‾х+3√1-√‾х=2; в) 7√‾12+х + 7√‾12+х =64/3 3√‾х . х 12 2. Решите неравенства: а)√‾х -2 – 3 >0; б) 3√‾х -1 5√5-х√‾х -2 >0. √‾х -3 – 2 3. Решите систему уравнений:а) у2+√3у2-2х+3=2/3х+5, б) √‾х+у+√‾х-у=10, 3х-2у=5 √‾х2-у2=9. (Ответ: (3;2), (17/27;-14/9)). 4. Решите уравнение: а) √‾х+а = а - √‾х; б) √х2+ах-2а=х+1. Муниципальное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа с. Войсковая Казинка Долгоруковского района Липецкой области ПРОГРАММА элективного курса по математике в 9 классе в рамках предпрофильной подготовки «Понятие иррациональности в математике» Разработал: учитель математики Андрианова М.В. Долгоруково 2011 |
Похожие:
 | «Иррациональные уравнения и неравенства» В пособии для студентов Андрусенко Б. Р., Зайцева О. Б. Иррациональные выражения, уравнения и неравенства. – Армавир, 2009 представлены... |  | Сколько целых чисел принадлежит решению неравенства (x-11)(x-8)/(x-3)^2 меньше нуля? Отсюда следует, что решения данного неравенства находится на промежутке (8;11) (т к неравенство |
| Урока: Образовательная Привести в систему умения и навыки, в частности, умение работать с координатной прямой, сравнивать числа, находить модуль числа,... | | «Рациональные уравнения с одной переменной. Рациональные неравенства».... В пособии для студентов Андрусенко Б. Р., Зайцева О. Б. Рациональные выражения, уравнения и неравенства. – Армавир, 2009. 84с представлены... |
| Тест «Логарифмические уравнения и неравенства» Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения log4 (X – 5 ) = log25 5 |  | Контрольная работа состоит из теоретического вопроса и практических заданий Перед выполнением контрольной работы следует изучить учебную литературу и нормативные материалы по уголовному процессу. Упк РФ необходимо... |
| Контрольная работа по теме «Показательные уравнения и неравенства» Найдите корни уравнения. Если получили два корня, то в ответе впишите их произведение, если один, то его запишите в ответ | | Для учащихся 9 класса К уроку подготовлена презентация. На экране учащиеся видят геометрические фигуры, в которых записаны уравнения. Натуральные числа,... |
| Вопросы Уравнения и неравенства с параметрами в курсе математики общеобразовательных учреждений | | План-конспект урока математики в 4 классе по теме «Нахождение части числа» Образовательные: формировать умения нахождения части числа, применять полученные знания на практике |