Исследование устойчивости нелинейных систем. Определение устойчивости,функции ляпунова




Скачать 139.57 Kb.
НазваниеИсследование устойчивости нелинейных систем. Определение устойчивости,функции ляпунова
Дата публикации20.10.2014
Размер139.57 Kb.
ТипИсследование
shkolnie.ru > Математика > Исследование



Московский государственный технический университет


им. Н. Э. Баумана

Пузанов В. П.



ЛЕКЦИИ



ПО КУРСУ «ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ»


ТЕОРИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО



УПРАВЛЕНИЯ И РЕГУЛИРОВАНИЯ.

Факультет «Специальное машиностроение»
Кафедра «Подводные роботы и аппараты»


2003 год.

ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ.



ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ,ФУНКЦИИ ЛЯПУНОВА.
Общее определение понятия устойчивости любой динамической системы по Ляпунову выглядит следующим образом. Запишем уравнения динамики нелинейной системы - ого порядка в нормальной форме Коши

, (1)

при отсутствии возмущающих воздействий. Устойчивость рассматривается как свойство свободного движения системы после начального отклонения ее, вызванного любыми причинами.

Пусть обозначает некоторый установившийся процесс работы системы или, как говорят, невозмущенное движение. Отклонение возмущенного движения , определяемого уравнениями (1) при определенных начальных условиях , обозначим через , т.е.

, . (2)

Тогда можно написать уравнения возмущенного движения в отклонениях в виде

, , (3)

а невозмущенное движение будет . Переменные являются координатами состояния системы.

В общем случае конкретное выражение уравнений (3) зависит от вида установившегося процесса , так как они получаются из (1) подстановкой (2). Поэтому, исследуя уравнения, вообще говоря, необходимо указывать – об устойчивости какого установившегося режима или невозмущенного движения идет речь.

Геометрически, невозмущенное (установившееся) движение системы - ого порядка можно представить условно в -мерном пространстве с добавлением еще оси времени (рис. 1) в виде некоторой интегральной кривой. Возмущенное движение , вызванное начальным отклонением при , изобразится другой интегральной кривой (рис. 1).



Рис. 1.

В отклонениях , т.е. в пространстве координат состояния системы, эта картина возмущенного движения будет выглядеть, как показано на рисунке 2. При этом невозмущенное движение изобразится прямой линией, совпадающей с осью .



Рис. 2.

Невозмущенное движение системы называется устойчивым, если, задав «трубку» сколь угодно малого -мерного сечения (рис. 2), можно подобрать в начальный момент такую область начальных условий , зависящую от , что в дальнейшем с увеличением возмущенное движение не выйдет из заданной трубки .

Аналитическое определение понятия устойчивости по Ляпунову формулируется следующим образом.

Невозмущенное движение системы называется устойчивым, если при заданном , сколь бы оно мало ни было, существует такое , зависящее от , что при начальных условиях

, , (4)

в дальнейшем движении будет все время

, . (6.5)

Заметим, что в этом аналитическом определении области и , в отличие от рис. 2 выглядят "прямоугольными" (в n-мерном пространстве), что не имеет принципиального значе­ния.

Невозмущенное движение будет неустойчивым, если указанное условие не выполняется хотя бы для одного из .

Если при выполнении указанного выше определения имеем , то невозмущенное движение называется асимптотически устойчивым.

Если же после любых больших начальных отклонений, то система называется устойчивой в целом.

Существует еще понятие абсолютной устойчивости, означающее устойчивость системы в целом при любом очертании нелинейности внутри определенного класса нелинейностей.

В общем случае в нелинейных системах, в отличие от линейных устойчивость состояния равновесия не означает, что будут устойчивы и все процессы в системе, так как свойства нелинейной системы меняются с изменением размера отклонений координат состояния. Наглядным примером может служить наличие в системе второго порядка неустойчивого предельного цикла . В этом случае при устойчивом состоянии равновесия система оказывается неустойчивой при больших начальных отклонениях (выходящих за границу предельного цикла), т.е. система устойчива "в малом" и неустойчива "в большом".

При определении понятия устойчивости рассматривались интегральные кривые (рис. 1 и 2), Если же представить себе не интегральную кривую, а фазовую траекторию в -мерном пространстве для системы уравнений (3), то в устойчивой системе согласно определению она будет иметь вид, изображенный на рис. 3.



Рис. 3.

Далее придется иметь дело с непрерывными функциями координат состояния системы обладающими свойством при .

Такая функция называется знакоопределенной функцией если во всей рассматриваемой области окружающей начало координат, она сохраняет один и тот же знак и обращается в нуль только в точке начала координат. Например, при .

Знакоопределенная функция может быть положительноопределенной или отрицательноопределенной

Если же функция сохраняет один и тот же знак, но обращается в нуль не только в начале координат, то такая функция называется знакопостоянной (положительной или отрицательной). Например, при обращается в нуль на прямой и .

Наконец, функция будет знакопеременной, если обращаясь в нуль в начале координат (и не только), она в рассматриваемой области не сохраняет одного и того же знака. Например, .

Согласно известному критерию Сильвестра, любая квадратичная форма координат будет знакоопределенной (положительной) тогда и только тогда, когда все главные диагональные миноры матрицы ее коэффициентов будут положительны. Например,



будет положительноопределенной, так как для матрицы ее коэффициентов



имеем



и, наконец,



Описанные функции от координат состояния системы, обращающиеся в нуль в начале координат, играют важную роль в теоремах Ляпунова об устойчивости и неустойчивости нелинейных систем и называются функциями Ляпунова.

Пусть имеется нелинейная система, описываемая уравнениями динамики

(6)

Составим производную функции Ляпунова в силу уравнений системы

.

Используя уравнение (6), найдем

. (7)

Очевидно, что в результате тут получается тоже некоторая функция координат состояния системы

. (8)

Известно далее, что градиент функции есть вектор, определяемый следующими проекциями

.

Можно ввести вектор с проекциями, отвечающими уравнениям (6), а именно .

Вектор будет вектором скорости изображающей точки в фазовом пространстве (рис. 4).



Рис. 4

Согласно (7) получаем

,

где под подразумевается совокупность всех координат состояния системы .

Итак, производная функции Ляпунова, составленная в силу уравнений системы, представляет собой скалярное произведение градиента этой функций на вектор фазовой скорости.

Вектор перпендикулярен к поверхности и направлен в сторону возрастания значения (рис.4). Если производная положительна, то согласно (9) вектор фазовой скорости составляет с острый угол, т.е. фазовая траектория пересекает поверхность в сторону увеличения значений . Если же , угол между и тупой, и фазовая траектория идет в сторону уменьшения значений .

^ ТЕОРЕМЫ ЛЯПУНОВА.
Различают теоремы первого и второго методов Ляпунова. Теоремы первого метода Ляпунова использовались при исследований устойчивости линеаризованных систем . Здесь пойдет речь о теоремах второго или, как иногда называют, прямого метода Ляпунова.

Теорема Ляпунова об устойчивости. Она формулируется следующим образом. Если для системы уравнений (6) существует знакоопределенная функция , производная которой является знакопостоянной противоположного знака, то решение системы устойчиво.



Рис. 5.

На рис. 5 представлена геометрическая иллюстрация этой теоремы, базирующаяся на свойстве (9) при условии и . При фазовая траектория пересекает поверхности V=C извне внутрь, а в случае она может остаться на такой поверхности. Поэтому в теореме говорится просто об устойчивости, но не об асимптотической.

Приведем доказательство теоремы. Зададим некоторое значение и область значений , ограниченную величиной . Пусть имеется определенноположительная функция . Обозначим точную нижнюю грань значений функции при через , т.е.

. (10)

Поскольку , то из непрерывности определенноподожительной функции следует, что можно взять такое значение , когда при будет

Пусть начальные условия лежат внутри области , т.е. , и следовательно,  Тогда для решения при функция будет невозрастающей, так как по условию теоремы

. (11)

Итак, получаем

. (12)

При этом неизбежно будет

(13)

так как, если бы было , то получилось бы

,

что противоречит (12). Теорема доказана.

Из формулировки и из доказательства видно, что теорема Ляпунова дает достаточные условия устойчивости решения нелинейной системы. Значит, если условия теоремы удовлетворяются, то система устойчива. Но это не означает, что система не может быть устойчивой и за пределами этих условий. Насколько полно условия теоремы отражают действительную область устойчивости системы зависит от выбора функции Ляпунова .

Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости. Если для системы уравнений (6) существует знакоопределенная функция , производная которой является тоже знакоопределенной, но противоположного знака, то решение системы будет устойчивым ассимптотически.

Геометрическая иллюстрация теоремы может быть представлена тем же рис. 5, но только с той разницей, что при имеем здесь , и по свойству (9) фазовая траектория, пересекая поверхности извне внутрь, не может остаться на них, а пойдет внутрь вплоть до начала координат, где и .

Ход аналитического доказательства тоже остается прежним, но с изменением (11) на

.

В следствии чего, будет монотонно убывающей функцией с нижним пределом .Поэтому вместо (13) получаем .

Эта теорема, как и первая, тоже дает достаточные условия устойчивости, а полнота охвата действительной области устойчивости системы зависит от выбора функции Ляпунова .

Теорема Ляпунова о неустойчивости. Поскольку обе предыдущие теоремы Ляпунова дают достаточные условия устойчивости, вообще говоря, не охватывающие всю область устойчивости системы, то может представлять интерес определение условий, где система становится наверняка неустойчивой.

Теорема формулируется следующим образом. Если для системы уравнений (6) существует какая-нибудь функция , производная которой является знакоопределенной функцией, причем в любой сколь угодно малой окрестности начала координат, имеется область, в которой знак совпадает со знаком , то решение системы неустойчиво.

Приведем геометрическую иллюстрацию теоремы для случая на фазовой плоскости. Пусть функция знакопеременная с линиями , показанными на рис. 6., а ее производная определенноположительная. Видно, что при произвольных начальных условиях фазовая траектория, направляясь в соответствии со свойством (9), попадает в область, где , и будет удаляться от начала координат. Если же является определенноотрицательной, то фазовая траектория удаляется от начала координат в области, где .

Аналитически это описывается следующим образом. Пусть производная знакоопределенная положительная. Зададим некоторое значение . По условиям теоремы, как бы мала ни была область начальных условий , всегда найдется часть этой области, где будет функция . Тогда с течением времени будет возрастать, т.е. .


Рис. 6

Поэтому некоторый момент времени значение функции перейдет величину и затем станет больше ее, а вместе с этим будет и при и при любом заданном , что и говорит о неустойчивости системы.

Перейдем теперь к изложению методики применения теорем Ляпунова для исследования устойчивости нелинейных систем автоматического управления. Сделаем это для одного (достаточно широкого) класса систем с однозначной нелинейностью. Пусть система описывается следующими уравнениями в матричной форме

, (14)

, (15)

,

где – невырожденная матрица размера коэффициентов, ; - вектор, координатами которого являются переменные состояния системы ; и - скалярные функции; и - -мерные векторы коэффициентов, - скаляр, коэффициент обратной связи, - символ транспонирования.

Нелинейная функция может иметь произвольное нечетно симметричное очертание (рис. 7), удовлетворяющее условиям

. (16)

Общий порядок системы . В реальных системах измеряются не все координаты состояния объекта .Поэтому часть коэффициентов во втором уравнении (15) будут равны нулю.

Приведем заданную систему (14) – (15) к каноническому виду путем замены переменных

, .

Проделав это, получим систему уравнений

, (17)

причем будем полагать, что матрица приведена к диагональной форме. Должно соблюдаться условие невырожденной общей матрицы системы

. (6.18)

Функцию Ляпунова в этом случае рекомендуется брать в виде

, (19)

где – некоторая положительноопределенная квадратичная форма n координат . Интеграл в этом выражении тоже является, как легко проверить, положительноопределенной функцией – ой координаты .



Рис. 7.



Рис. 8.

Составим производную функции Ляпунова (19) в силу уравнений системы (17). Имеем



Матрица квадратичной формы B является симметричной, т.е. . Поэтому можно сделать следующее преобразование

.

Далее обозначим . И покажем, что матрица симметрическая. В самом деле

.

Итак, получаем

.

Это выражение представляет собой квадратичную форму. Согласно теоремам Ляпунова об устойчивости, производная должна быть закоопределенной, либо знакопостоянной отрицательной функцией. Обратимся к критерию Сильвестра для установления положительной определенности функции . Поскольку является матрицей положительноопределенной квадратичной формы, то первые неравенств критерия Сильвестра выполняются. Остается потребовать

.

Отсюда

. (20)

Следовательно, при выполнении этого условия (20) совместно с условием (18) система будет устойчива асимптотически. Это является достаточным условием асимптотической устойчивости решения , .

Видно, что в условия устойчивости (20) и (18) не вошли никакие параметры нелинейной характеристики . Следовательно, эти условия справедливы при любой форме нелинейности, удовлетворяющей общим требованиям (16). Такие условия устойчивости, которые не зависят от конкретной формы нелинейности, называются условиями абсолютной устойчивости системы.

Похожие:

Исследование устойчивости нелинейных систем. Определение устойчивости,функции ляпунова iconИсследование устойчивости нелинейных систем. Определение устойчивости,функции ляпунова
Общее определение понятия устойчивости любой динамической системы по Ляпунову выглядит следующим образом. Запишем уравнения динамики...
Исследование устойчивости нелинейных систем. Определение устойчивости,функции ляпунова icon2. 2 Анализ устойчивости по алгебраическим критериям
Для определения асимптотической устойчивости линейных стационарных систем в Control System Toolbox имеются функции вычисления решений...
Исследование устойчивости нелинейных систем. Определение устойчивости,функции ляпунова iconН екоторые вопросы устойчивости динамических экономических систем на сетях Алексеева Е. И
Продемонстрирована принципиальная возможность использования сетевой топологии для описания кредитных банковских и заёмных производственных...
Исследование устойчивости нелинейных систем. Определение устойчивости,функции ляпунова iconЛабораторная работа №2 исследование устойчивости линейных импульсных систем (лис)
Исследовать влияние параметров лис на устойчивость и качество переходных процессов
Исследование устойчивости нелинейных систем. Определение устойчивости,функции ляпунова iconИсследование областей устойчивости систем с помощью годографа Найквиста
Постановка задачи параметрической оптимизации и ее решение средствами пакета матлаб (пакет Simulink Response Optimization – V. 7/...
Исследование устойчивости нелинейных систем. Определение устойчивости,функции ляпунова iconИм. Н. Э. Баумана Пузанов В. П. Лекции
Критерий устойчивости Гурвица относится к алгебраическим критериям устойчивости системы автоматического управления. Рассмотрим замкнутую...
Исследование устойчивости нелинейных систем. Определение устойчивости,функции ляпунова iconКонтур находится на границе устойчивости, если при некоторой частоте ω справедливо равенство
Полняется первое равенство системы (8). Если при этом выполняется второе равенство системы (8), то внутренний контур сар находится...
Исследование устойчивости нелинейных систем. Определение устойчивости,функции ляпунова iconЗадание 1
В данном задании собраны задачи, касающиеся устойчивости дискретных систем управления
Исследование устойчивости нелинейных систем. Определение устойчивости,функции ляпунова iconВычисление определённого интеграла методом Монте-Карло
Цель работы: вычисление определённого интеграла от произвольной функции с помощью метода Монте-Карло с наперёд заданной точностью,...
Исследование устойчивости нелинейных систем. Определение устойчивости,функции ляпунова iconВозможности, которые даны ему своим полом, если мы хотим воспитывать...
В самый ответственный период формирования гендерной устойчивости девочки и мальчики в течение длительного времени пребывания в дошкольном...
Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2014
shkolnie.ru
Главная страница