Методическая разработка Часть Рекомендовано методической комиссией механико-математического факультета для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлениям подготовки «Математика»




Скачать 259.66 Kb.
НазваниеМетодическая разработка Часть Рекомендовано методической комиссией механико-математического факультета для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлениям подготовки «Математика»
страница1/3
Дата публикации23.03.2014
Размер259.66 Kb.
ТипМетодическая разработка
shkolnie.ru > Математика > Методическая разработка
  1   2   3





МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ и НАУКИ РФ

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского»


^ ПРИМЕНЕНИЕ ПАКЕТА MAPLE В КУРСЕ

«МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ»
Методическая разработка
Часть 1.

Рекомендовано методической комиссией механико-математического факультета для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлениям подготовки «Математика», «Математика. Компъютерные науки», «Прикладная математика», «Механика».


Составитель _______________А.А. Алексеев



Нижний Новгород

2010


УДК 517.9

ББК
ПРИМЕНЕНИЕ ПАКЕТА MAPLE В КУРСЕ «МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ». Составитель: А.А. Алексеев.

Методическая разработка. Часть 1, – Нижний Новгород: Издательство Нижегородского университета, 2010. - 25 с.

Рецензент: доцент кафедры математической физики ННГУ Калинин А.В.
В настоящем пособии описаны возможности использования пакета компьютерных программ «MAPLE» применительно к общему курсу «Математический анализ», который читается студентам 1-го и 2-го курса механико-математического факультета, обучающихся по специальностям «Математика»,«Математика. Компъютерные науки»,«Прикладная математика», «Механика».

Приводятся примеры решения различных задач курса с помощью указанного пакета, а также варианты заданий для самостоятельных или лабораторных работ.


Введение.

Общий курс «Математический анализ» читается студентам механико-математического факультета четыре семестра на 1-м и 2-м курсе. При изучении курса на практических занятиях большое внимание уделяется методам вычисления пределов, исследования функций и построения графиков, дифференцирования и интегрирования, аппарату числовых, функциональных и степенных рядов и рядов Фурье, а также кратным, криволинейным и поверхностным интегралам. Однако с развитием современных технологий назрела необходимость использования персонального компьютера в учебном процессе, в частности, при решении или графической иллюстрации перечисленных выше задач. Это ни в коей мере не отменяет важности умения студентами решать поставленные задачи «вручную», так как зачастую результат, полученный компьютером, ввиду чрезвычайной сложности, не поддается ни осмыслению, ни дальнейшему использованию. Кроме того, компьютер выдает только результат вычисления, но не показывает методов решения задач. В то же время огромные вычислительные и графические возможности компьютера будут, безусловно, весьма полезны в организации учебного процесса.

Современная программа аналитических вычислений MAPLE может быть эффективно использована в курсе математического анализа на практических занятиях или при выполнении лабораторных работ по следующим темам:

1-й семестр:

- вычисление пределов последовательностей и функций;

- дифференцирование функций;

- построение графиков функций, заданных явно, неявно, параметрически и в полярных координатах;

2-й семестр:

- вычисление неопределенных интегралов;

- вычисление определенных интегралов;

- приложение определенных интегралов к вычислению площадей.

3-й семестр:

- нахождение экстремума функций n переменных (с графической иллюстрацией для случая n = 2);

- разложение функций в степенной ряд;

- суммирование рядов.

4-й семестр:

- вычисление кратных интегралов;

- приложения кратных, криволинейных и поверхностных интегралов к вычислению площадей и объемов (с графической иллюстрацией).

В 1 части настоящего пособия приводятся примеры решения указанных задач 1-го и 2-го семестров с помощью системы компьютерной математики MAPLE-12, а также задания для самостоятельных или лабораторных работ.
^ 1. Вычисление пределов последовательностей.

Для вычисления пределов последовательностей используется оператор

limit(f,n=a), Limit(f,n=a)

Здесь f – алгебраическое выражение, n – имя переменной, а – бесконечность («infinity»); например:

1) Найти предел последовательности .

> Limit((n^2-1)/(n^2+1),n=infinity);



> limit((n^2-1)/(n^2+1),n=infinity);



> ^ Limit((n^2-1)/(n^2+1),n=infinity)=limit((n^21)/(n^2+1), n=infinity);



Первый пример служит фактически для записи предела в общем виде,

второй – для нахождения его численного значения, третий – для записи равенства. Рассмотрим еще несколько примеров.

2) Найти предел последовательности .

> Limit((Sum(i/n^2),i=0..n-1),n=infinity)=limit(sum((i/n^2),i=0..n-1), n=infinity);



3) Найти предел последовательности .

>Limit(Sum(1/(k*(k+1)),k=1..n),n=infinity)=limit(sum(1/(k*(k+1)),k=1..n),n=infinity);


^ 2. Вычисление пределов функций.

Для вычисления пределов функций используется тот же оператор

limit(f, x=a), limit(f, x =a,dir),

Limit(f, x=a), Limit(f, x=a,dir),

Здесь f – алгебраическое выражение, х – имя переменной, а – предельное значение переменной х, которое может быть и бесконечным («infinity» со знаком плюс или минус); dir – опция, указывающая направление поиска предела (left – левый предел, right – правый предел, real – в действительной области и т.п.). Например:

1) Найти предел

> Limit ((1-cos(x))/x^2,x=0);



> limit ((1-cos(x))/x^2,x=0);



> Limit ((1-cos(x))/x^2,x=0)=limit((1-cos(x))/x^2,x=0);



Здесь вновь первый пример служит фактически для записи предела в общем виде, второй – для нахождения его численного значения, третий – для записи равенства.

Рассмотрим еще несколько примеров

2. Найти предел



> Limit(ln(1-sin(x))/x,x=0)=limit(ln(1-sin(x))/x,x=0);


3. Найти предел



>Limit((sqrt(x^4+x^2+1)-x^2),x=infinity)=limit((sqrt(x^4+x^2+1)-x^2), x=infinity);



4. Найти предел



> Limit((2*exp(x/(x+1))-1)^((x^2+1)/x),x=0)=limit((2*exp(x/(x+1))-1)^ ((x^2+1)/x),x=0);



5. Найти предел

> Limit((a^x-x^a)/(x-a),x=a)=limit((a^x-x^a)/(x-a),x=a);



^ 2. Вычисление производных.

Вычисление производных функции f(x) любого порядка реализуется в MAPLE с помощью оператора diff(a,x), где а – дифференцируемое алгебраическое выражение, в частности, функция одного переменного х, по которому производится дифференцирование. В простейшем случае оператор

diff ( f ( x ), x )

вычисляет 1-ю производную функции f(x) по х.

При n > 1 вычисление производится рекурсивно, например, оператор

diff ( f ( x ), x, x ) = diff (diff ( f ( x ), x ) , x )

вычисляет . Можно использовать для вычисления оператор последовательности $, например,

diff ( f ( x ), x$4 )= diff ( f ( x ), x , x, x, x )

вычисляет .

Для упрощения конечного результата следует предварительно присвоить значение производной какой-либо переменной р, а затем воспользоваться операторами simplify(p) или expand(p), например:

1). Найти производную функции

>p:=diff(2*x*ln(2*x+sqrt(4*x^2+1))-sqrt(4*x^2+1),x);

;

>simplify(p);



2). Найти производную функции :

>p:=diff(cos(2*arccos(x)),x);



>expand(p);

4x.

3). Найти производную функции

> p:=diff((sin(x)-x*cos(x))/(cos(x)+x*sin(x)),x);


> simplify(p);



4). Найти производную функции

> p:=diff(sqrt(x+sqrt(x+sqrt(x))),x);



> simplify(p);



5). Найти производную пятого порядка функции



> diff(x*ln(x),x$5);



6). Найти производную 10-го порядка функции



> diff(x^2*sin(2*x),x$10);



^ 3. Построение графиков функций.
а). Построение графиков явно заданной функции
Для построения графика функции, заданной явно в простейшем случае используется оператор plot в следующем формате:

plot ( f , h , v , o) ,

где f – визуализируемая функция, h – переменная с указанием области изменения по горизонтали, v – необязательная переменная с указанием области изменения по вертикали, o – опции, задающие стиль построения графика (толщину и цвет кривой, тип кривой, метки на ней и т.п., например: axes =NORMAL – задает вид координатных осей, color=black – задает цвет графика, thickness=2 – удваивает толщину линии и т.п.). Самыми простыми формами задания этого оператора являются:

1). plot (f , xmin..xmax) – построение графика функции f (x), заданной своим именем, на промежутке от xmin до xmax.

Например, для построения кривой , -3 < x < 3, запишем

> f( x) = exp( x )

> plot ( f , x = -3..3 );



2). plot (f(x), xmin..xmax) – построение графика функции f (x).

Например, для построения кривой на интервале от -10 до 10 запишем:

> plot ( sin(х)/x , x = -10..10 );

  1   2   3

Похожие:

Методическая разработка Часть Рекомендовано методической комиссией механико-математического факультета для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлениям подготовки «Математика» iconУчебно-методическое пособие Рекомендовано методической комиссией...
Абсолютная ссылка – указывает на ячейку или группу ячеек, безотносительно к активной ячейке электронной таблицы
Методическая разработка Часть Рекомендовано методической комиссией механико-математического факультета для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлениям подготовки «Математика» iconПрикладная информатика Нижний Новгород 2005
Рекомендовано методической комиссией факультета вычислительной математики и кибернетики для студентов высших учебных заведений, обучающихся...
Методическая разработка Часть Рекомендовано методической комиссией механико-математического факультета для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлениям подготовки «Математика» iconУчебное пособие Рекомендовано методической комиссией экономического...
Применение методов поиска оптимального решения и нечеткой логики в экономических задачах
Методическая разработка Часть Рекомендовано методической комиссией механико-математического факультета для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлениям подготовки «Математика» iconОсновы стиховедения
...
Методическая разработка Часть Рекомендовано методической комиссией механико-математического факультета для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлениям подготовки «Математика» iconРоссийской федерации
Рекомендовано методической комиссией факультета вмк для студентов ннгу, обучающихся по направлениям подготовки 010500 «Прикладная...
Методическая разработка Часть Рекомендовано методической комиссией механико-математического факультета для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлениям подготовки «Математика» iconВ. А. Берендеев История политических учений Запада Учебно-методическое пособие
Рекомендовано методической комиссией факультета международных отношений для студентов ннгу, обучающихся по направлениям подготовки...
Методическая разработка Часть Рекомендовано методической комиссией механико-математического факультета для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлениям подготовки «Математика» icon-
Рекомендовано методической комиссией филологического факультета для студентов ннгу, обучающихся по направлению подготовки 031300...
Методическая разработка Часть Рекомендовано методической комиссией механико-математического факультета для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлениям подготовки «Математика» iconЧисленное решение трехмерных динамических задач теории упругости на основе ажурной схемы мкэ
Рекомендовано ученым советом механико-математического факультета для студентов ннгу, обучающихся по специальностям 010200 «Прикладная...
Методическая разработка Часть Рекомендовано методической комиссией механико-математического факультета для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлениям подготовки «Математика» iconО. А. Омельченко всеобщая история государства и права
Рекомендовано Министерством образования Российской Федерации в качестве учебника для студентов высших учебных заведений, обучающихся...
Методическая разработка Часть Рекомендовано методической комиссией механико-математического факультета для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлениям подготовки «Математика» iconУчебно-методическое пособие Рекомендовано методической комиссией...
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Нижегородский государственный...
Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2014
shkolnie.ru
Главная страница