Методические указания к выполнению лабораторных работ №1 - №4 по дисциплине “Основы теории марковских процессов” для студентов специальности

^ НЕПРЕРЫВНЫЕ МАРКОВСКИЕ ЦЕПИ Теоретические сведения Марковский случайный процесс с дискретными состояниями и непрерывным временем иногда называют «непрерывной цепью Маркова». Для такого процесса вероятность перехода из состояния, в для любого момента времени равна нулю. Вместо вероятности перехода в этом случае рассматривают плотность вероятности перехода , которая определяется как предел отношения вероятности перехода из состояния в состояние за малый промежуток времени , примыкающий к моменту , к длине этого промежутка, когда она стремится к нулю. Плотность вероятности перехода может быть как постоянной , так и зависящей от времени . В первом случае Марковский случайный процесс с дискретными состояниями и непрерывным временем называется однородным. Плотности вероятностей переходов рассматриваются как интенсивности простейших потоков событий, под влиянием которых происходит переход системы из состояния в состояние . ^ Потоком событий принято называть последовательность однородных событий, появляющихся одно за другим в случайный момент времени (поток автомашин, проходящих через таможенный пост; поток вызовов на станции скорой помощи; поток клиентов, снимающих денежные средства со счета в банке). На практике обычно рассматривают простейшие потоки событий, которые характеризуются свойствами стационарности, ординарности и отсутствия последствия. Поток событий называется стационарным, если вероятность попадания того или другого числа событий на любой интервал времени зависит только от длины этого интервала и не зависит от того, где именно на оси времени он расположен. Поток событий называется ординарным, если вероятность одновременного поступления двух и более событий равна нулю, что означает, что события в потоке появляются «поодиночке», а не группами по два, по три и т.д. Поток событий называется потоком без последствия, если число событий, попадающих на любой интервал времени , не зависит от того, сколько событий попало на любой другой не пересекающийся с ним интервал. Отсутствие последействия означает, что события, образующие поток, появляются в те или другие моменты времени независимо друг от друга. Ординарный поток событий без последствия называется пуассоновским. Простейший поток есть частный случай пуассоновского потока, обладающего свойством стационарности. Случайный процесс , представляющий собой число появившихся до момента событий в простейшем потоке, определяется исходя из закона Пуассона , где число состояний системы, интенсивность потока. В случае, когда система имеет конечное число состояний, вероятности состояний в момент времени находятся из системы дифференциальных уравнений (уравнений Колмогорова), имеющих вид , , где произведение поток вероятности перехода [5] из состояния в состояние . Данные уравнения удобно составлять, пользуясь размеченным графом состояний системы и следующим мнемоническим правилом: производная вероятности каждого состояния равна сумме всех потоков вероятности, переводящих из других состояний в данное, минус сумма всех потоков вероятности, переводящих из данного состояния в другие. Чтобы решить данную систему дифференциальных уравнений нужно задать начальное распределение вероятностей , сумма которых равна единице . ^ Пример выполнения лабораторной работы №2 Пусть нормально работающая система (состояние ) подвергается простейшему потоку отказов с интенсивностью , переходя в новое состояние , в котором она некоторое время может работать с необнаруженным отказом. Как только отказ обнаруживается (интенсивность обнаружения ), производится осмотр системы(состояние ). В результате осмотра, устройство либо направляется в ремонт (состояние ) с интенсивностью , либо списывается и заменяется новым (состояние ) с интенсивностью . Из состояния с интенсивностью и из состояния с интенсивностью переходит в рабочее состояние . Найти распределение вероятностей состояний для любого момента времени и финальные вероятности состояний. Граф состояний для сформулированной задачи приведен на рис. 2.1. Рис. 2.1. Размеченный граф состояний системы На основе размеченного графа состояний системы, составим систему дифференциальных уравнений Колмогорова: и нормировочное условие . Для определенности придадим параметрам, приведенным в системе дифференциальных уравнений, следующие значения: Зададим также начальные условия, т.е. распределение вероятностей состояний в начальный момент времени: . В результате получим систему линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами: Данную систему линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами можно решить аналитически (методом исключения неизвестных, методом Эйлера или с помощью преобразований Лапласа), но при большой размерности данной системы [1, 2], предпочтительнее получить ее численное решение на ПК. Для получения численного решения системы используем программу MathCAD, которая имеет необходимые функции для решения дифференциальных уравнений различными методами. Воспользуемся общепринятой процедурой решения на основе метода Рунге-Кутта. В качестве функции, позволяющей получить решение, выберем функцию , где - начальные условия, - начальная и конечная точки расчета соответственно, - число шагов, - матричная форма правых частей системы дифференциальных уравнений. Листинг с введенными параметрами и полученным результатом решения в системе MathCAD [7] представлен на рис.2.2. Р ис. 2.2. Решение системы дифференциальных уравнений Рис. 2.3. Проекция фазовой траектории для и Из решения (рис 2.2) следует, что спустя период времени наступает стабилизация случайного процесса. Фрагмент фазового портрета для и приведен на рис. 2.4. Очевидно, что устойчивость решения подтверждается фазовым портретом (рис. 2.4), взятым для одной из десяти возможных проекций полученных решений. Дополнительно для иллюстрации численного решения как функции времени приведем соответствующие графики. Рис. 2.4. Графики вероятностей состояний как функции времени Для проверки решения системы дифференциальных уравнений на устойчивость целесообразно воспользоваться функцией отыскания собственных чисел , имеющейся в системе MathCAD. Результаты вычисления вектора собственных чисел матрицы приведены ниже: Принимая во внимание теорему об устойчивости решений системы линейных однородных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами, заметим, что корни характеристического уравнения матрицы не имеют положительных действительных частей, следовательно, полученное решение устойчиво. Проблема устойчивости для данного класса задач является актуальной, так как предполагается нахождение финальных вероятностей для стохастических систем, описываемых с помощью дифференциальных уравнений Колмогорова. Для вычисления финальных вероятностей положим левые части в системе дифференциальных уравнений Колмогорова равными нулю, получим однородную систему линейных алгебраических уравнений. Принимая во внимание нормировочное условие для вероятностей, и отбрасывая одно из уравнений системы, получим неоднородную систему линейных уравнений. Для решения системы средствами MathCAD воспользуемся функцией . Результаты вычисления финальных вероятностей приведены ниже. При этом финальные вероятности можно истолковать как среднее время пребывания системы в данном состоянии. Данная система в среднем 54% времени будет работать нормально, 13,5% времени работать с необнаруженным отказом, 9% времени будет затрачено на диагностику, 17% времени на ремонт и около 7% тратится на замену новым оборудованием. ^ Варианты 1-5. Система представляется в виде технического устройства (ТУ), которое имеет три узла (элемента). Для работы ТУ достаточно, чтобы работал хотя бы один узел. Система может находиться в следующих четырех состояниях: все узлы системы работают исправно; только один узел системы вышел из строя и подлежит восстановлению (ремонтируется или планируется его замена); два узла системы вышли из строя и восстанавливаются; все три узла системы вышли из строя и восстанавливаются. Граф системы приведен на рис. 2.5. Рис. 2.5. Размеченный граф системы Интенсивности переходов из состояния в состояние для каждого варианта приведены ниже. № варианта 1 0,85 0,34 0,9 0,1 0,75 0,45 2 3 2 0,7 2 0,61 2 3 0,5 0,94 2 3 0,8 3 4 3 3 1 0,22 1 0,22 5 2 0,9 0,25 3 1 1

Похожие:

	Методические указания по выполнению лабораторных работ по дисциплине... Лукьянов В. Г. Методические указания по выполнению лабораторных работ по дисциплине "Теоретические основы измерительных и информационных...		Методические указания к выполнению лабораторных работ по дисциплине «Информационные системы» Методические указания предназначены для студентов дневной и заочной форм обучения специальности 080801 «Прикладная информатика (по...
	Методические указания к выполнению контрольных работ по дисциплине «Информатика» Методические указания предназначены для студентов-заочников специальностей: 2806, 2808, 1707, 2506. Дисциплина «вычислительная техника...		Методические указания к выполнению лабораторных работ №1 №4 по дисциплине... Методические указания предназначены для студентов дневной и заочной форм обучения направления
	Методические указания к выполнению лабораторных работ по дисциплине «Организация ЭВМ и систем» Электронные методические указания к выполнению лабораторных работ по дисциплине «Организация ЭВМ и систем»/ Сост.: Андреева А. А.,...		Методические указания по выполнению лабораторных работ по дисциплине... Зрюмова, А. Г. Методические указания по выполнению лабораторных работ по дисциплине «Компьютерные технологии в приборостроении» /...
	Методические указания к выполнению лабораторных работ по дисциплине «Дискретный анализ» Методические указания предназначены для студентов дневной и заочной форм обучения по специальностям 080801 «Прикладная информатика...		Методические указания по выполнению лабораторных работ (курс «Базы данных и знаний», часть 1) Методические указания предназначены для студентов экономического и механико-математического факультетов. Здесь определены цели и...
	Методические указания по выполнению лабораторных работ для студентов... Работа с редактором Visual Basic в среде ms excel: метод указания по выполнению лабораторных работ для студентов 1 и 2-го курсов...		Методические указания по выполнению контрольных и курсовых работ... Задания и методические указания по выполнению контрольных и курсовых работ по дисциплине «Теория менеджмента» для студентов специальности...