Методические указания к выполнению лабораторных работ №1 - №4 по дисциплине “Основы теории марковских процессов” для студентов специальности

Министерство образования и науки Украины Севастопольский национальный технический университет ОСНОВЫ ТЕОРИИ МАРКОВСКИХ ПРОЦЕССОВ Методические указания к выполнению лабораторных работ №1 — №4 по дисциплине “Основы теории марковских процессов” для студентов специальности 6.050101 – "Информационные управляющие системы и технологии" дневной и заочной формы обучения Севастополь 2013 УДК 004.92 Методические указания к лабораторным работам №1 — №4 по дисциплине “Основы теории марковских процессов”/ Сост. Ю.В. Доронина.  — Севастополь: Изд-во СевНТУ, 2013.  — 28. Целью методических указаний по дисциплине “Основы теории марковских процессов” является выработка у студентов практических навыков анализа стохастических систем на основе моделей марковских процессов, систематизация знаний по специальным разделам теории случайных процессов. Методические указания составлены в соответствии с требованиями программы дисциплины “Основы теории марковских процессов” для студентов третьего курса заочной форм обучения специальности 6.050101 и утверждены на заседании кафедры информационных систем (протокол № ___ от _____________ 2013 г.). Допущено учебно-методическим центром СевНТУ в качестве методических указаний. Рецензент: Литвинова Л.А., доцент кафедры КиВТ СевНТУ ^ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ для выполнения лабораторных работ по дисциплине «Основы теории марковских процессов» Введение Для вычисления числовых параметров, характеризующих стохастические объекты, нужно построить некоторую вероятностную модель явления, учитывающую сопровождающие его случайные факторы. Для математического описания многих явлений, развивающихся в форме случайного процесса, может быть с успехом применен математический аппарат, разработанный в теории вероятностей для так называемых марковских случайных процессов. Пусть имеется некоторая физическая система S, состояние которой меняется с течением времени (под системой S может пониматься что угодно: техническое устройство, ремонтная мастерская, вычислительная машина и т.д.). Если состояние S меняется по времени случайным образом, говорят, что в системе S протекает случайный процесс. Примеры: процесс функционирования ЭВМ (поступление заказов на ЭВМ, вид этих заказов, случайные выходы из строя), процесс наведения на цель управляемой ракеты (случайные возмущения (помехи) в системе управления ракетой), процесс обслуживания клиентов в парикмахерской или ремонтной мастерской (случайный характер потока заявок (требований), поступивших со стороны клиентов). Случайный процесс называется марковским процессом (или «процессом без последствия»), если для каждого момента времени t0 вероятность любого состояния системы в будущем (при t>t0) зависит только от её состояния в настоящем (при t= t0) и не зависит от того, когда и каким образом система пришла в это состояние (т.е. как развивался процесс в прошлом). Пусть S техническое устройство, которое характеризуется некоторой степенью изношенности S. Нас интересует, как оно будет работать дальше. В первом приближении характеристики работы системы в будущем (частота отказов, потребность в ремонте) зависят от состояния устройства в настоящий момент и не зависят от того, когда и как устройство достигло своего настоящего состояния. Теория марковских случайных процессов – обширный раздел теории вероятности с широким спектром приложений (физические явления типа диффузии или перемешивания шихта во время плавки в доменной печи, процессы образования очередей). Л.Р. № 1 ^ ПРИМЕНЕНИЕ ЦЕПЕЙ МАРКОВА ДЛЯ АНАЛИЗА ОСАДКОВ Теоретические сведения и пример анализа Из практики прогнозирования метеорологических элементов, осадки имеют самый высокий показатель сложности прогнозирования. Габриэль и Нойманн (Gabriel, Neumann, 1962) применяли цепи Маркова для составления модели выпадения ежедневных осадков в зависимости от их величины. На основе метода Габриэля и Нойманна ниже приведены некоторые свойства инерции и периодичности осадков, которые можно представить цепями Маркова [11, 14]. Для простоты модели на первом этапе не будем отличать осадки по типам. Условимся день о садками обозначать как D, и день без осадков – W. Цепь определяется двумя условными вероятностями: , (переходные вероятности). - вероятность того, что дню с осадками предшествует день без осадков (W/D), - вероятность того, что дню с осадками предшествует день с осадками (D/D). Априорная вероятность того, что какой-то день будут осадки, выражается эмпирически как отношение числа дней с осадками за исследуемый период к числу дней в периоде. Аналогичным образом, имперически, можно получить условные вероятности как отношения: (1) (2) Или в принятых нами обозначениях (1) и (2) примут вид: , (3) Предположим, что переходные вероятности: =0.24, =0.59. Можно легко убедиться, что обнаружилась инерция дождливых дней. И +>1, т.к. они не независимы. Вероятность того, что вслед за днем с осадками наступит сухой день, равна по определению 1- = 0.41. Аналогично, вероятность того, что вслед за одним сухим днем наступит другой сухой день, равна 1- = 0.76. Теперь возможно построить цепь вероятностей не только для одного дня без осадков. Вероятность того, что через два дня после дня с осадками будет день с осадками равна ( ): , (4) вероятность того, что через два дня после сухой погоды будет день с осадками ( ) (5) Кроме того, вместо выражений (4) и (5) можно использовать формулы [11]: , (6) где - априорная вероятность дня с осадками и . Графики вероятности в зависимости от количества i дней по указанным формулам, асимптотически приближаются к априорной вероятности (рисунок 1.1). Рисунок 1.1.Марковские вероятности: - i дней c осадками после дня с осадками, - i дней c осадками после дня без осадков. В каждом случае вероятность того, что за днем без осадков спустя 4 дня (i=4) будет день с осадками, очень близка к априорной вероятности . Продолжая разработки Марковских цепей, выясним вероятности периодов с осадками и сухих дней. Вероятность периода с осадками в k дней равна вероятности сухих дней, повторяющихся каждые (k+ 1) дней, то есть , , (7) где к – число дней в периоде, ,- переходные вероятности, - вероятность периода без осадков, - вероятность периода с осадками. На рисунке 1.2 приведены графики рассчитанных значений вероятностей периодов с осадками в k-дней и соответствующих периодов без осадков. Как видно, для значения k=3 и совпадают. Рисунок 1.2. Вероятности периода с осадками в k-дней и соответствующего периода без осадков Рассуждения можно продолжить для оценки показателя периодичности, т.е. чередования сухих периодов и периодов с осадками по n дней каждый, выражение (8). (8) где n – число дней в периоде, ,- переходные вероятности, - вероятность чередования периодов без осадков и периодов с осадками по n дней каждый. Вероятности чередующихся периодов с осадками и сухих дней продолжительностью n дней каждый (с периодичностью в 2п каждый) показаны на рисунке1.3. Рисунок 1.3. Вероятности чередующихся периодов с осадками и дней без осадков продолжительностью n дней каждый. Как видно из расчетов, для исследуемого случая, показатель периодичности равен четырем дням, т.к. максимальное значение вероятности чередующихся периодов достигается при n=4. Это же справедливо и для расчетов по данным наблюдений станции Херсонесский маяк. Рисунок 1.4. Априорные вероятности осадков для Ялты, Алушты, Евпатории. Установлен годовой ход априорной вероятности осадков по данным наблюдений по Севастополю. Уравнения полиномов для исследуемых пунктов наблюдения приведены ниже: По Севастополю: ,. Применение цепей Маркова выявляет истинную стохастическую природу рядов данных. В Марковских цепях непосредственно на основании измерений определяются лишь условные вероятности и априорная вероятность. Все другие вероятности базируются на предположении о зависимости условий данного дня от предыдущего. ^ Задания к лабораторной работе: Сгенерировать последовательности осадков в форме таблицы MS Excel за период 2 месяца (порядковый номер месяца - вариант задания - выбирается по последней цифре зачетной книжки: например, для номера ЗК=5 - май и июнь). С использованием встроенных возможностей MS Excel, провести аналогичные исследования на основе модели, описанной в МУ. Найти: вероятность того, что вслед за днем с осадками наступит сухой день, вероятность того, что через два дня после дня с осадками будет день с осадками, вероятности периодов с осадками и сухих дней, оценки показателя периодичности, т.е. чередования сухих периодов и периодов с осадками по n дней каждый. Построить графики, сделать выводы. Подготовить отчет, содержащий все этапы исследования. К отчету приложить таблицы и распечатки графиков. Контрольные вопросы: Дать определения случайного процесса, марковского процесса. Что такое переходные, условные и априорные вероятности для данной модели? Какой тип МЦ использован в модели лабораторной работы? Пояснить смысл периода дней без осадков в модели. Привести выражение для оценки периодичности смены погодных условий. Л.Р. № 2

Похожие:

	Методические указания по выполнению лабораторных работ по дисциплине... Лукьянов В. Г. Методические указания по выполнению лабораторных работ по дисциплине "Теоретические основы измерительных и информационных...		Методические указания к выполнению лабораторных работ по дисциплине «Информационные системы» Методические указания предназначены для студентов дневной и заочной форм обучения специальности 080801 «Прикладная информатика (по...
	Методические указания к выполнению контрольных работ по дисциплине «Информатика» Методические указания предназначены для студентов-заочников специальностей: 2806, 2808, 1707, 2506. Дисциплина «вычислительная техника...		Методические указания к выполнению лабораторных работ №1 №4 по дисциплине... Методические указания предназначены для студентов дневной и заочной форм обучения направления
	Методические указания к выполнению лабораторных работ по дисциплине «Организация ЭВМ и систем» Электронные методические указания к выполнению лабораторных работ по дисциплине «Организация ЭВМ и систем»/ Сост.: Андреева А. А.,...		Методические указания по выполнению лабораторных работ по дисциплине... Зрюмова, А. Г. Методические указания по выполнению лабораторных работ по дисциплине «Компьютерные технологии в приборостроении» /...
	Методические указания к выполнению лабораторных работ по дисциплине «Дискретный анализ» Методические указания предназначены для студентов дневной и заочной форм обучения по специальностям 080801 «Прикладная информатика...		Методические указания по выполнению лабораторных работ (курс «Базы данных и знаний», часть 1) Методические указания предназначены для студентов экономического и механико-математического факультетов. Здесь определены цели и...
	Методические указания по выполнению лабораторных работ для студентов... Работа с редактором Visual Basic в среде ms excel: метод указания по выполнению лабораторных работ для студентов 1 и 2-го курсов...		Методические указания по выполнению контрольных и курсовых работ... Задания и методические указания по выполнению контрольных и курсовых работ по дисциплине «Теория менеджмента» для студентов специальности...