Российской федерации




Скачать 309.92 Kb.
НазваниеРоссийской федерации
Дата публикации04.10.2014
Размер309.92 Kb.
ТипКонтрольная работа
shkolnie.ru > Информатика > Контрольная работа


МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского
КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ НА ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ,

ИНТЕГРАЛ И РЯДЫ ФУРЬЕ





Рекомендовано методической комиссией факультета ВМК для студентов ННГУ, обучающихся по направлениям подготовки 010500 «Прикладная математика и информатика», 010400 «Информационные технологии» и специальностям 010501 «Прикладная математика и информатика», 080801 «Прикладная информатика»
Практикум




Нижний Новгород

2011

УДК 517.987 (077)

ББК В162р

К-15


К-15 Контрольные задачи на функциональные последовательности и ряды, интеграл и ряды Фурье: Практикум. – Составители: Калашников А.Л., Федоткин А.М., Фокина В.Н. – Нижний Новгород: Нижегородский госуниверситет, 2011.– 22 с.


Рецензент: кандидат физ.-мат. наук, доцент Зорин А.В.

В практикуме содержатся задачи по разделу курса “Математический анализ”. Здесь приведены задачи на функциональные последовательности и ряды, степенные ряды, интеграл и ряды Фурье. Имеются примеры на вычисление сумм, производных и интегралов от рядов. Работа будет полезна при проведении практических занятий, на коллоквиумах и экзаменах по математическому анализу по теме «Функциональные последовательности и ряды» и также ее самостоятельному изучению студентами 2-го курса факультета ВМК ННГУ.

УДК 517.987 (077)

ББК В162р
Содержание стр.






  • ^

    1.ФУНКЦИОНАДЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ




  1. Контрольная работа №1


Исследовать на сходимость и равномерную сходимость функциональные последовательности на множествах и .

1. = arctg , = (0;) , =(;), >0.

2. = , =(1;), =(;+), >1.

3. = , = (0; 1) , =(1;+).

4. = n arcctg , = (0; 1) , =(1;).

5. = ln , = (0;) , =(;), >0.

6. = sin , = ;), =(0;), >0.

7. = sin , = (0;) , =(0;), >0.

8. = cos , =(0;), =(0;1), 0<<1.

9. = arctg , =(0;0.5), =(0.5;1).

10. = , =0;, 0<<, =(0,).

11. = , = (,), >0, =(0,).

12. = arctg(2nx) – arctg(nx), =(0,1), =(1,).

13. = , =(0,1), =(1,).

14. = , =(0,1), =(1,).

15. = arctg , =(0,1), =(1,).

16. = ln(1+sin =(0,1), =(1,).

17. = , =0;1), =0 , 0<<1.

18. = ln (1+ = (0, 2), = (2,).

19. =sin ( , = (0, 1), = (1,).

20. = , = (0, 1), =(1,).

21. =sin , = (0, 1), =(1,).

22. =2ln( -ln( , =0,), =0,a, a>0.

23. = =0, 1), =0;a, 0<a<1.

24. =ln( =0;a, a>0, = 0;.

25. =arcsin =0;a , 0<a<1, = 0;1).

26. =ln =0;a, a>0, = 0;).

27. = , =(0;1), = (1;).

28. = , =-a;a , a>0, = (-;).

29. =n , =(0,5;1), = (1;).

30. = , =0;2, = 2;).

  1. ^

    Контрольная работа №2


В примерах с №1 по №9 найти все значения , при которых последовательность   a)сходится на множестве ; b) сходится равномерно на или его подмножестве Q. Найти предельную функцию для на Q.

1. = , =(0;1). 2. = , =(0;).

3. = , =(-;). 4. = =0;).

5. = , =0;). 6. = , =(0;1).

7. = , =(0;). 8. =xarctg( , , =(0;).

9. = , =(0;). 10. = , =(-;).

Исследовать на равномерную сходимость

11. = .

12. = , где z- целая часть z и x [0;1].

13. = .

В примере 13 исследовать на равномерную сходимость для x из [0; 10] .С №14 по №25 исследовать на равномерную сходимость и переход к пределу под интегралом для   на = :

14. = ; a) =0,1, b) =0;0.5.

15. = ; a) =0,1, b) =0;0.5

16. = a) =0,3, b) =1;3.

17. = ; =0,4.

18. = ; =0; .

19. = =0; .

20. =n ; а) =0;4 ; б) =1;3 .

21. = а) =0;3 ; б) =1;3 .

22. ( ) = ; а) =0;1; б) =0;0.5 .

23. = ; а) =0;1; б) =1;2 .

24. = ; а) =0;2; б) =1;2 .

25. = ; а) =0;2; б) =1;3.

В примерах с 26 по 30 исследовать на равномерную сходимость и переход к пределу под знаком производной на множестве для  .

26. = ; =0;1 ; 27. = =-1;1.

28. = =-1;2 : 29. = =0;3.

30. = ; =-2;2.

  • ^

    2. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ



  1. Контрольная работа №3


Найти области абсолютной и условной сходимости при члене ряда =:

1. 2. ; 3. 4. 5. ; 6. ; 7. ; 8. ; 9. 10. 11. 12. 13. ; 14. ; 15. 16. ; 17. ; 18. ; 19. ; 20. ; 21. ; 22. ; 23. ; 24. ; 25. ; 26. 27. ;

28 ; 29. ; 30.
  1. ^

    Контрольная работа №4


Используя признак Вейерштрасса, доказать равномерную сходимость на множестве при равном

1. , =0; ); 2. , =(- ; ); 3. , =(- ; ) 4. , =(- ; ); 5. , =(- ; ); 6. , =(- ; ); 7. , =[1; ); 8. , =[0;0.1]; 9 . , =[1; );

10. , =[0;0.1 11. , =(-1;1)]; 12. , =(1;3); 13. , =[3;7]; 14. , =[2;4); 15. ; =[0;6); 16. , =[- ];

17. , =-1;1] ; 18. ; =(- ; );

19. , =[2; ); 20.arctg =(- ; ); 21. ; =[0; ) ; 22. , =[0; );

23. ; =(- ; ); 24. (arctg , =[0; );

25. , =(- ; ); 26. sin ; =[0; );

27. sin ln(1+ ), =(0; ); 28. ; =(- ; );

29. , =(- ; ); 30. , =[0; );

  1. ^

    Контрольная работа №5


По определению или критерию Коши, исследовать на равномерную сходимость на c членом равном:

1. , E=(-q;q), 0 =(-1;1); 2. , = ; 3. ; 4. , = 5. 6. , = ; 7. , = = ; 8. , =(0; );

9. ; = ;

10. , =[0; ); 11. ; ; = ;

12.(-1) ; = ; 13.arctg ; =[-1;1];

14 . , =[0; ); 15. sin , =(-2;2), =[-1;1];

16. , = ; 17. sin , =[0; ) =[0;1];

18. , =[0; ); 19. ; ; =[0; ).

20. ; 21. ; = ; =[0;1].

22. ; =(0; ); =[h; ); 23. , = ; = .

24.sin , =(0; ); 25. ( ,

26. , =(1; ); 27.( ), = .

28. ; 29. ( , =[0; ).

30.
  1. ^

    Контрольная работа №6


Используя различные признаки, исследовать на равномерную сходимость на с членом равном

1. ln (1+ ) , =[0; ); 2. , =[0; );

3. , =(0; ); 4. , = .

5.arctg , =[0; ); 6. , =[0; );

7 , 8. e sin , =[0; ); 9. , =[0; ); 10. , = ; 11. , 12. , =[0; ); 13. , =[0; ); 14. , =[0; );

15.ln (1+ , 16.arctg , =[1; );

17. , 18. ,

19. , E=[ ; ); 20. , E=[1; );

21 , =[0; ); 22. =[0; )

23. =[0; ) 24. ; = ; 25. = ; 26.sin( , 27. , 28 , 29. , ; 30. , =[0;1);


  1. ^

    Контрольная работа №7


Исследовать на равномерную сходимость на E , E c членом 1. , E =(0;1), E =(1; ); 2. , E =( ; ); E =(0; );

3. , E =( ; ),;E =(0; ); 4. sin , E =(0; ), E =(0; );

5. sin , E =(0; ),;E =( ; ); 6. , E =( ; ),;E =(0; );

7. , E =[0;2 ]; 8. ,E =( ; ), 9. , E =(0;1); 10. sin , E =(0;1), E =(1; );

11 E =(0; ),E =(0; ) ; 12. E =(0; ), 13. , E =(0; ); E =( ; ); 14. , E =( ; );

15. , E =(0;1);E =(1; ); 16. , E1=(0;1); E2=(1; );

17. E =(0; ), E =( ;1); 18. sin , E =(0;1), E =(1; );

19. sin , E =(0;1), E =(1; ); 20. , E =(0; );

21. , E =(0; );E =( ; ); 22. , E =(0;1), E =(1; ); 23.nx tg( , E =[-2;2]; E =[-3;3]; 24. , E =[-5;5];

25. , E =(0;1), E =(1; ); 26. sin , E =(0;1), E =(1; );

27. , E =[0; ]; 28. , E =(0;1), E =(1; );

29. E =[10; ); 30. E =(0;1), E =(1; );


  1. ^

    Контрольная работа № 8


В №1 по №10 исследовать на существование предела и найти его : 1. , 2. ,

3. , 4. , 5. , 6. , 7. , 8. ,

9. , 10. .

В №11 по №20 найти область существования и непрерывности суммы ряда с членом

11. ; 12. ; 13. ; 14.n4 ;

15. ; 16 ; 17.arcsin ;

18. ; 19. ; 20. .

В примерах с №21 по №30 найти область E определения суммы ряда и исследовать ее на дифференцируемость с членом

21. ; 22. x ; 23. ; 24. ; 25. ; 26. e ; 27. ; 28. arctg ;

29. ; 30. .

В №31 по №35 доказать интегрирование на [c;d] с

31. , [1;2]; 32. , [0;2π]; 33. (-1) , [-1;0]; 34. , [0; π]; 35. , [-1;2].

Найти интеграл от ряда.

В №36 по №40 доказать непрерывность суммы ряда на E с 36. , 37.e (1+n ) ,

38. , 39. ; E= (0;1) 40. , ;
  • ^

    3.СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ

  • Контрольная работа №9


Для найти радиус, интервал сходимости и исследовать на сходимость, абсолютную сходимость в концах интервала сходимости c

1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5.n!x ;

6. ; 7. (x+2) ;

8. ; 9. ln ; 10. ; 11. ( ;

12. 3 ( )(x+3) ; 13. 5 (x-1) ;

14. ; 15. ; 16. (1+ )(x+2) ; 17.tg ( ; 18. ; 19. , a>0,b>0;

20. ( ) (x+3) ; 21. ( (x+2) ; 22. ; 23..x ;

24.(2-x) ; 25. (x+2) ;

26 ; 27. (x+1) ; 28 ; 29. ; 30. ; 31. (x+2) ; 32. (x-1) ; 33. (x-1) ;

34. 4 ( ) ; 35.( ) (x+1) .
  1. ^

  2. Контрольная работа №10


Используя различные приемы (дифференцирование, интегрирование и др.) найти сумму рядов и указать области их сходимости при равном:

1 (n+1)x ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. ; 6.nx ;

7. x ; 8. ; 9.

10. (2n )x ; 11.2nx(x -2) ; 12.(n+1)(x +1) ; 13. ; 14. ; 15. ;

16. ; 17. ; 18. ;

19. ; 20.( ) ; 21. ;

22. ; 23. ; 24. x 25. ; 26. ; 27. ;

28.n ; 29. ; 30. ; 31.n ; 32. ; 33. (lnx) ;

34. ; 35. (x ) ;
  1. ^

    Контрольная работа №11


Разложить f(x) в степенной ряд в окрестности x0,используя известные разложения элементарных функций или дифференцированием, интегрированием функций. Найти радиус и интервал сходимости при f(x) равной:

1. , =1; 2. , =0; 3. , =3; 4.(1-x ) , =0; 5. , =2; 6.ln , =0; 7. (1+x )arctg x, =0; 8. (1-x)arcsin x, =0 9. , =0; 10.ln , =0;

11. dt, =0; 12. dt, =0;

13. dt, =0; 14. (x , =-1;

15.(x , =0; 16. x , =0 ; 17. dt, =0; 18. dt, =0;

19. dt, =0; 20.arctg , =0; 21. , =3; 22.x , =0; 23.4 , =1; 24.sin2xcos , =0;

25. shx+sinx, =0; 26.x arccos4x, =0; 27. , =0; 28.ln( ), =2; 29.ln , =1 30.ln( ), =5; 31.xarccos(x- ), =0; 32. , =0;

33.x arctg , =0; 34. , =0;

35.ln(3+x) , =0; 36.ln x, =1; 37.cos , = ; 38.sin , =2; 39.xcos , =0; 40. , =0;
  1. ^

    Контрольная работа №12


В примерах с 1 по 16, используя разложения в степенной ряд и оценку его остатка, вычислить с точностью до = 0,01 значения функций:

1.cos1; 2.sin2; 3.cos10; 4.sin1; 5. ; 6.ln 1,1 ;

7.tg 1 ; 8. ; 9.arctg( ); 10.ln10 ; 11.arcsin( ); 12.e; 13. ; 14. sh1; 15. sh2; 16.ln1,5.

В примерах с 17 по 30, используя ряд Маклорена для , записать интеграл через числовой ряд при равной:

17.e , a=0, b= ; 18. , a= , b= ; 19 . a=1, b=2; 20. , a=0, b= ; 21. , a=0, b= ; 22. , a=0, b= ;

23. ( ) ; a=1, b=2; 24. , a=0, b=2; 25. a=0, b=1; 26. , a= 1, b= 3;

27. , a=0, b=1; 28. , a=0, b=1;

29. ( ) , a=0, b=0,5; 30. ( ) , a=0, b=0,5;

В №31 по №40, используя ряд Маклорена, найти производную в x0 = 0 от =

31.e , ; 32. , 33. , ;

34.(cosx) chx, ; 35. , ; 36. , ;

37. , ; 38.(sinx)chx, ; 39. , ; 40. , ;

  • ^

    4. РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ

  • Контрольная работа №13


В примерах с 1 по 30 разложить функцию и указать промежутки, где сумма ряда Фурье равна функции и найти сумму ряда в точках .

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15. 16

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

С 31 по 40 разложить в ряд Фурье периодические функции:

31. 32. 33.

34. 35. 36. 37. 38. ,

39. , 40. ,
  1. ^

    Контрольная работа №14


В примерах с 1 по 14 разложить в интервале в ряд Фурье а) по косинусам, б)по синусам функцию ;

1. 2. 3. 4. 5. 6. .

7. 8. 9.

10. 11. 12.

13. 14.

Разложить в примерах с 15 по 30 в ряд Фурье а) по синусам, б) по косинусам для , определенной на :

15. 16. 17. 18. 19. 20.

21. 22. 23. 24. 25.

26. ; 27. ; 28. ;

29. ; 30. ;
  • ^

    Контрольная работа № 15


В примерах с 1 по 16 функцию представить интегралом Фурье:

1. 2.

3. 4. 5. 6. 7. 8.

9. 10.

11 12.

13. 14.

15. 16.
В примерах с 17 по 29 найти интеграл Фурье функции продолжив её нечетным образом на интервал , если

17. 18.

19. 20.

21. 22.

23. 24.

25. 26.

27. 28. 29.f(x) = , для 0 и f(x) = 0 вне отрезка [0;1] .
В примерах с 30 по 40 найти интеграл Фурье функции , продолжив её четным образом на интервал , если

30. 31.

32. 33.

34. 35.

36. 37.

38. 39.

40.


  • Литература





  1. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа: в 2 т. – М.: Высшая школа, 1981. - Т.1. – 687 с.

  2. Ильин В.А., Садовничий В.А, Б.Х. Сендов. Математический анализ. Продолжение курса. - М.: Изд-во МГУ, 1987. – 387 с.







Похожие:

Российской федерации iconО прокуратуре российской федерации
Прокуратура Российской Федерации единая федеральная централизованная система органов, осуществляющих от имени Российской Федерации...
Российской федерации iconО прокуратуре российской федерации
Прокуратура Российской Федерации единая федеральная централизованная система органов, осуществляющих от имени Российской Федерации...
Российской федерации iconО прокуратуре российской федерации
Прокуратура Российской Федерации единая федеральная централизованная система органов, осуществляющих от имени Российской Федерации...
Российской федерации iconДоклад Уполномоченного по правам человека в Российской Федерации за 2006 год
Государственную Думу Федерального Собрания Российской Федерации, в Правительство Российской Федерации, Конституционный Суд Российской...
Российской федерации iconПрезидент российской федерации указ от 18 сентября 1993 г. N 1390...
Министерству внутренних дел Российской Федерации, Министерству безопасности Российской Федерации, Государственному таможенному комитету...
Российской федерации iconМинистерство здравоохранения и социального развития российской федерации приказ
Российской Федерации об охране здоровья граждан от 22 июля 1993 г. N 5487-1 (Ведомости Съезда народных депутатов Российской Федерации...
Российской федерации iconЗакон от 6 июня 2005 г. N 59-фз "О внесении изменений в Закон Российской Федерации "
О частной детективной и охранной деятельности в Российской Федерации (Ведомости Съезда народных депутатов Российской Федерации и...
Российской федерации iconПроект федерального конституционного закона «О созыве Конституционного...
Конституционное Собрание Российской Федерации является особым учредительным и представительным органом Российской Федерации, который...
Российской федерации iconМосква
Министерству здравоохранения Российской Федерации, Министерству труда и социальной защиты Российской Федерации, Министерству образования...
Российской федерации iconXxvii. Заключительные положения
Союза сср на территории Российской Федерации (Ведомости Съезда народных депутатов Российской Федерации и Верховного Совета Российской...
Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2014
shkolnie.ru
Главная страница