Методические указания для выполнения контрольной работы. Цель работы




Скачать 194.27 Kb.
НазваниеМетодические указания для выполнения контрольной работы. Цель работы
Дата публикации05.12.2013
Размер194.27 Kb.
ТипМетодические указания
shkolnie.ru > География > Методические указания
Методические указания для выполнения контрольной работы.

Цель работы:

1. Изучить методику применения математического аппарата линейного программирования для задач формирования и анализа оптимальной производственной программы.

2. Рассчитать конкретный пример, используя надстройку ExcelПоиск решения.

Задачи:

1. Сформулировать математическую модель задачи (описать переменные, целевую функцию и ограничения);

2. Ввести исходные данные (копия экрана);

3. Провести процедуру поиска решения (копия экрана результатов поиска решения задачи);

4. Интерпретация полученных результатов на основе отчетов по результатам и устойчивости (копии экранов с отчетами).
^ Примечание: Вариант контрольной задачи выбирается согласно первой букве фамилии студента.
Вариант №1 Вариант №2 Вариант №3 Вариант №4

А, Б, В Г, Д, Е Ж, З, И К, Л

Вариант №5 Вариант №6 Вариант №7 Вариант №8

М, Н О, П, Р С, Т, У Ф, Х, Ц
Вариант №9 Вариант №10

Ч, Ш, Щ Э, Ю, Я

Вариант 7. Фабрика выпускает три вида тканей. Суточные ресурсы фабрики, их расход на единицу ткани и цена 1 метра выпускаемой продукции представлены в таблице.


Ресурсы

Нормы затрат на производство 1 м ткани

Суточный лимит

I

II

III

Оборудование

2

3

4

700

Сырье

1

4

5

800

Электроэнергия

3

4

2

600

Цена

8

7

6





1. Сформулируйте прямую оптимизационную задачу на максимум общей стоимости, рассчитайте оптимальную производственную программу, используя процедуру Поиск решения в Excel.

2. Проанализируйте использование ресурсов в оптимальном плане. Укажите статус ресурсов: дефицитный или недефицитный. Увеличение запасов какого из видов ресурсов наиболее предпочтительно с точки зрения увеличения прибыли? Укажите интервалы изменения объемов используемых ресурсов, при которых сохраняются текущие оптимальные двойственные оценки. Как изменится общая стоимость выпускаемой продукции, если суточный лимит использования электроэнергии увеличится на 50 единиц?

3. Определите интервалы возможного изменения значений коэффициентов целевой функции, при которых сохраняется текущее оптимальное решение.

4. Сформулируйте двойственную задачу и найдите ее оптимальное решение, используя соотношения о дополняющей нежесткости. Сравните полученные результаты с результатами, полученными с помощью процедуры Поиск решения.


Методические рекомендации по выполнению контрольной работы

^ Постановка задачи линейного программирования

1.1 Линейное программирование как метод оптимального планирования

Линейное программирование (ЛП) изучает важную для практики задачу отыскания экстремума линейной функции при наличии ограничений в виде линейных неравенств или уравнений.

Сущность этих задач заключается в том, чтобы из множества различных вариантов исследуемого экономического процесса, выбрать по какому-либо признаку наилучший, или, как его называют, оптимальный вариант.

В этом методе обязателен специальный показатель выгодности плана, который называют показателем или критерием оптимального плана. Часто это прибыль, доход, валовый продукт, производительность, эффективность. В таких случаях выгодно, чтобы показатель оптимальности для выбранного плана был максимальным. Если показателем оптимальности плана служат издержки, себестоимость, капиталовложения или трудоемкость, то необходимо планировать так, чтобы показатель оптимальности для выбранного плана был минимальным.

Таким образом, ясно, что цель, которую мы ставим перед собой, заключается в максимизации или минимизации некоторого количества средств (денег, сырья, оборудования, продуктов питания), которое математически выражается в виде линейной формы некоторого числа переменных.

Множество возможных вариантов, из которых выбирается оптимальный план, всегда ограничено (ресурсами сырья, наличием рабочей силы, количеством оборудования и т. п.), поэтому каждый из рассматриваемых вариантов должен быть допустимым планом, удовлетворяющим имеющимся ограничениям. Показатель оптимальности плана является некоторой функцией плана . Поэтому задача отыскания оптимального плана сводится к математической задаче нахождения экстремума этой функции.

Решение экстремальных экономических задач можно разбить на 3 этапа: 1) построение экономико-математической модели; 2) нахождение оптимального решения одним из математических методов; 3) практическое внедрение.

Построение экономико-математической модели состоит в создании упрощенной экономической модели, в которой в схематической форме отражена сущность изучаемого процесса. При этом особое внимание должно быть уделено отражению в модели всех существенных особенностей задачи и учету всех ограничивающих условий, которые могут повлиять на результат. Затем определяют цель решения, выбирают критерий оптимальности и дают математическую формулировку задачи.

^ 1.2 Общая задача линейного программирования

Общую задачу линейного программирования можно сформулировать следующим образом. Найти такие значения , которые удовлетворяют системе ограничений

(1.1)

условиям неотрицательности

(1.2)

и для которых линейная функция (целевая функция)

(1.3)

достигает экстремума (максимума или минимума).

Вектор , координаты которого удовлетворяют системе (1.1) и (1.2) называют опорным планом или допустимым решением задачи линейного программирования.

Совокупность всевозможных допустимых решений (планов) задачи называют областью допустимых решений задачи.

Оптимальным планом или оптимальным решением задачи линейного программирования называется план, доставляющий наибольшее (наименьшее) значение линейной функции (1.3).
  1. ^

    Основные классы задач линейного программирования

2.1 Оптимизация плана производства


В данном разделе показаны возможности использования модели линейного программирования (ЛП) для определения плана производства. Рассматривается задача производственного планирования, учитывающая динамику спроса, производства и хранения продукции. Наиболее часто такого рода задачи возникают на уровне агрегированного планирования и оперативного управления микроэкономическими объектами.

^ Постановка задачи:

Необходимо определить план производства одного или нескольких видов продукции, который обеспечивает наиболее рациональное использование имеющихся материальных, финансовых и других видов ресурсов. Такой план должен быть оптимальным с точки зрения выбранного критерия – максимума прибыли, минимума затрат на производство и т. д.

Введем обозначения:

n - количество выпускаемых продуктов;

m - количество используемых производственных ресурсов (например, производственные мощности, сырье, рабочая сила);

- объем затрат i-го ресурса на выпуск единицы j-й продукции;

- прибыль от выпуска и реализации единицы j-го продукта;

- количество имеющегося i-го ресурса;

- объем выпуска j-го продукта

Формально задача оптимизации производственной программы может быть описана с помощью следующей модели линейного программирования:


Здесь (1) – целевая функция (максимум прибыли);

(2) – система ограничений на объем имеющихся ресурсов;

(3) – ограничения на неотрицательность переменных.

Пример 1. Для изготовления трех видов изделий A, B и С используется токарное, фрезерное, сварочное и шлифовальное оборудование. Затраты времени на обработку одного изделия для каждого из типов оборудования указаны в таблице 1. В ней же указан общий фонд рабочего времени каждого из типов используемого оборудования, а также прибыль от реализации одного изделия каждого вида.

Тип оборудования

Затраты времени (станко-ч) на обработку одного изделия вида

Общий фонд рабочего времени оборудования (ч)

А

В

С

Фрезерное

2

4

5

120

Токарное

1

8

6

280

Сварочное

7

4

5

240

Шлифовальное

4

6

7

360

Прибыль (руб.)

10

14

12




Требуется определить, сколько изделий и какого вида требуется изготовить, чтобы прибыль от их реализации была максимальной. Составить математическую модель задачи.

Решение. Предположим, что будет изготовлено единиц изделий А, единиц изделий В и единиц изделий С. Тогда для производства такого количества изделий потребуется затратить станко-часов фрезерного оборудования.

Так как общий фонд рабочего времени станков данного типа не может превышать 120, то должно выполняться неравенство



Аналогичные рассуждения относительно возможного использования токарного, сварочного и шлифовального оборудования приведут к следующим неравенствам:



При этом, так как количество изготавливаемых изделий не может быть отрицательным, то

(1)

Далее, если будет изготовлено единиц изделий вида А, единиц изделий вида В и единиц изделий вида С, то прибыль от их реализации составит .

Таким образом, приходим к следующей математической задаче: дана система

(2)

четыре линейных неравенства с тремя неизвестными и линейная функция относительно этих же переменных

(3)

Требуется среди всех неотрицательных решений системы неравенств (2) найти такое, при котором функция (3) принимает максимальное значение. Как это сделать будет показано в дальнейшем.

Линейная функция (3), максимум которой требуется определить, вместе с системой неравенств (2) и условием неотрицательности переменных (1) образуют математическую модель исходной задачи.

Так функция (3) линейна, а система неравенств (2) содержит только линейные неравенства, то задача (1) – (3) является задачей линейного программирования.

^ 2.2 Оптимальное смешение

В данном разделе показаны возможности использования модели линейного программирования для задач оптимального смешения. Наряду с рассмотренной в разделе 2.1 задачей планирования производства это одна из наиболее известных областей приложения модели линейного программирования. Модели оптимального смешения имеют много общего с моделями оптимального планирования производства, но в то же время существуют и некоторые особенности.

^ Постановка задачи:

Необходимо определить наилучший способ смешения исходных ингредиентов для получения смеси с заданными свойствами и с наименьшими затратами.

Задачи оптимального смешения встречаются во многих отраслях промышленности (металлургия, парфюмерия, пищевая промышленность, фармакология, сельское хозяйство).

Рассмотрим однопродуктовую модель оптимального смешения.

Введем обозначения:

n - количество исходных ингредиентов;

m - количество компонентов в смеси;

- количество j-го ингредиента, входящего в смесь;

- количество i-го компонента в j-м ингредиенте;

- стоимость единицы j-го ингредиента;

- количество i-го компонента в смеси.

Формально задача оптимального смешения может быть описана с помощью следующей модели линейного программирования:

Здесь (1) – целевая функция (минимум затрат на получение смеси);

(2) – группа ограничений, определяющих содержание компонентов в смеси;

(3) – ограничения на неотрицательность переменных.

Пример 2. Рацион кормления коров на молочной ферме может состоять из трех продуктов – сена, силоса и концентратов. Эти продукты содержат питательные вещества – белок, кальций и витамины. Численные данные представлены в таблице.

Продукты

Питательные вещества

Белок, г/кг

Кальций, г/кг

Витамины, мг/кг

Сено

50

10

2

Силос

70

6

3

Концентраты

180

3

1

В расчете на одну корову суточные нормы потребления белка и кальция составляют не менее 2000 и 120 г соответственно. Потребление витаминов строго дозировано и должно быть равно 87 мг в сутки.

Составить самый дешевый рацион, если стоимость 1 кг сена, силоса или концентрата равна соответственно 1,5; 2 и 6 ед.

Решение: Пусть - количество сена (г), силоса (г) и концентратов (мг) входящих в суточный рацион коровы.

Тогда этот рацион будет содержать (г) белка, (г) кальция и (мг) витаминов. Так как содержание белка и кальция в ежедневном рационе коровы должно быть не менее 2000 и 120 г соответственно, то получим следующую систему неравенств:

(2.1)

Поскольку потребление витаминов строго дозировано, то соответствующее соотношение будет выглядеть следующим образом:

(2.2)

Кроме того, переменные должны удовлетворять условию неотрицательности:

(2.3)

Так как задача состоит в составлении самого дешевого суточного рациона, следовательно, целевая функция примет вид:

(2.4)

Итак, экономико-математическая модель задачи: составить дневной рацион , удовлетворяющий системе (2.1) и условиям (2.2) и (2.3), при котором функция (2.4) принимает минимальное значение.

^ 3. Решение задачи линейного программирования с помощью Поиска решений

Поиск решения это надстройка ЕХСЕL, которая позволяет решать оптимизационные задачи. Если в меню ^ Сервис отсутствует команда Поиск решения, значит, необходимо загрузить эту надстройку. Выберите команду Сервис => Надстройки и активизируйте надстройку Поиск решения .Если же этой надстройки нет в диалоговом окне Надстройки, то вам необходимо обратиться к панели управления Windows, щелкнуть на пиктограмме Установка и удаление программ и с помощью программы установки ЕХСЕL (или Оffice) установить надстройку Поиск решения.

Рассмотрим пример решения задачи оптимизации плана производства четырех различных видов изделий, для изготовления которых предприятие использует три различных типа сырья. Нормы расхода сырья на производство одного изделия каждого вида, цена одного изделия, а также общее количество сырья каждого типа, которое может быть использовано предприятием, приведены в следующей таблице.

Тип сырья

Нормы расхода сырья на производство 1 изделия

Общее количество сырья

А

В

С

D

1

4

2

2

3

35

2

1

1

2

3

30

3

3

1

2

1

40

Цена 1 изделия

14

10

14

11




Какое количество продукции каждого вида должна выпускать компания, чтобы общая стоимость произведенной продукции была максимальной.

Составим математическую модель задачи:

Целевая функция имеет вид: .

Ограничения:



где - количество продукции j вида.

Введем условия задачи путем совершения следующих основных шагов.

  1. Создание формы для ввода исходных данных задачи.

  2. Ввод исходных данных.

  3. Ввод зависимостей из математической модели.

  4. Назначение целевой функции.

  5. Ввод ограничений и граничных условий.

Для исходной задачи сделаем форму для ввода условий задачи и введем исходные данные с помощью режима формул. В задаче оптимальные значения вектора будут помещены в ячейках ВЗ:ЕЗ, оптимальное значение целевой функции - в ячейке F5.

Введите исходные данные в созданную форму (рис.3.1).



Рис. 3.1 Исходная форма для решения ЗЛП

Ввод зависимости для целевой функции.

  • Курсор в F5.

  • Выбираем кнопку мастер функций.

  • В окне КАТЕГОРИЯ выделяем категорию МАТЕМАТИЧЕСКИЕ.

  • В окне ФУНКЦИИ выбираем СУММПРОИЗВ.

  • В Массив 1 введите В3:E3 (рис. 3.2).

  • В Массив 2 введите В5:E5 (рис. 3.2).

  • ОК. В ячейке F5 появится значение 0.



Рис. 3.2 Диалоговое окно МАСТЕР ФУНКЦИЙ

Ввод зависимостей для левых частей ограничений производим по аналогии.

На этом ввод данных в таблицу закончен (рис. 3.3).



Рис 3.3 Ввод исходных данных

Далее работаем в диалоговом окне ПОИСК РЕШЕНИЯ (меню СЕРВИС – ПОИСК РЕШЕНИЯ…).

Назначение целевой функции:

  • В окне УСТАНОВИТЬ ЦЕЛЕВУЮ ЯЧЕЙКУ вводим адрес F5.

  • Выберем направление изменения целевой функции: максимальному значению.

Ввод ограничений и граничных условий проводим при помощи курсора Добавить…

На экране появится диалоговое окно ДОБАВЛЕНИЕ ОГРАНИЧЕНИЯ (рис. 3.4). Введем граничные условия и ограничения на переменные.



Рис. 3.4 диалоговое окно ДОБАВЛЕНИЕ ОГРАНИЧЕНИЯ

После ввода последнего ограничения вместо Добавить… выбираем ОК. В результате на экране появилось диалоговое окно ПОИСК РЕШЕНИЯ с введенными условиями (рис. 3.5).



Рис. 3.5 Диалоговое окно Поиск решения

Таким образом, условия задачи введены. Далее следует приступить к решению.

Решение задачи производится сразу же после ввода данных в диалоговом окне ПОИСК РЕШЕНИЯ.

  1. Выбираем кнопку ПАРАМЕТРЫ… На экране появится диалоговое окно ПАРАМЕТРЫ ПОИСКА РЕШЕНИЯ (рис. 3.6).


Рис 3.6 диалоговое окно Параметры поиска решения

С помощью команд, находящихся в этом диалоговом окне, можно вводить условия для решения задач оптимизации всех классов. Команды, используемые по умолчанию, подходят для решения большей части практических задач.

Устанавливаем флажок ЛИНЕЙНАЯ МОДЕЛЬ, что обеспечит применение симплекс-метода. Нажимаем ОК.

На экране появляется диалоговое окно ПОИСК РЕШЕНИЯ (рис. 3.5).

2. Выбираем кнопку ВЫПОЛНИТЬ.

На экране появляется диалоговое окно Результаты поиска решения (рис. 3.7).



Рис. 3.7 Диалоговое окно Результат поиска решения

Если решение не найдено, окно выведет соответствующее сообщение.

Если решение найдено, выделим все три типа отчетов (Результаты, Устойчивость, Пределы), нажмем ОК. На экране – результаты решения задачи (рис. 3.8).



Рис. 3.8 Результаты решения задачи

Для анализа полученного оптимального решения в Еxcel предусмотрены три типа отчетов: отчет по результатам, устойчивости, пределам.

В отчете по результатам приведены сведения о целевой функции, значениях искомых переменных и результаты оптимального решения для ограничений (рис. 3.9).



Рис. 3.9 Отчет по результатам

Для ограничений в столбце Формула приведены зависимости, которые были введены в диалоговое окно ПОИСК РЕШЕНИЯ; в столбце Значение – величины использованного ресурса; в столбце Разница – количество неиспользованного ресурса. Если ресурс расходуется полностью, то в столбце Статус указывается «связанное»; при неполном использовании ресурса в этом столбце указывается «не связан». Для переменных показывается разность между значениями переменных в найденном оптимальном решении и заданным для них граничным условием.

В отчете по устойчивости (рис. 3.10) дан анализ по переменным и ограничениям. Исследование устойчивости оптимального решения – это изучение влияния изменений отдельно взятых параметров модели (оценок целевой функции, технико-экономических коэффициентов, объемов ограничений по ресурсам и продуктам, значений базисных переменных и др.) и ее структуры (введение новых ограничений и переменных или их сокращение) на показатели оптимального решения. Такой анализ позволяет судить о пределах допустимых изменений в оптимальном плане и о его устойчивости.
^

Рис. 3.10 Отчет по устойчивости


В результате решения в разделе Изменяемые ячейки приведены следующие данные:

  • результирующие значения переменных;

  • нормированная стоимость, т. е. дополнительные двойственные переменные, которые показывают, насколько изменяется значение целевой функции при принудительном включении единицы этой переменной в оптимальное решение;

  • коэффициенты целевой функции;

  • допустимые значения приращения коэффициентов целевой функции, при которых сохраняется набор переменных, входящих в оптимальное решение.

В разделе Ограничения приведены значения:

  • величин используемых ресурсов;

  • теневые цены, т. е. двойственные оценки, которые показывают, как изменится целевая функция при изменении ресурсов на единицу;

  • значения приращения ресурсов, при которых сохраняется оптимальный набор двойственных переменных, входящих в оптимальное решение.

В отчете по пределам (рис. 3.11) показано, в каких пределах может изменяться выпуск продукции, вошедшей в оптимальное решение, при сохранении структуры оптимального решения.



Рис. 3.11 Отчет по пределам
Выводы

На основе Отчета по результатам можно сделать следующие выводы об оптимальном решении поставленной задачи:

  • максимальное значение прибыли от продажи производимых товаров составляет 225 тыс. руб.;

  • оптимальный план предусматривает производство товаров В и С в количестве 5 и 12,5 шт. соответственно;

  • для того чтобы, продукты 1 и 4 вида вошли в оптимальный план производства необходимо увеличить цену этих продуктов на 2 и 10 руб. соответственно (нормированная стоимость);

  • ресурсы 1 и 2 типов расходуются полностью, и остается неиспользованным 10 ед. сырья 3 типа. Следовательно, ресурсы 1 и 2 типа являются дефицитными.

Согласно Отчету по устойчивости можно сделать следующие выводы:

  • интервал возможного изменения значений коэффициентов целевой функции, при которых сохраняется текущее оптимальное решение, следующие: товар А: [14-0; 14+2]

товар В: [10-0,67; 10+4]

товар С: [14-4; 14+2]

товар D: [11-0; 11+10];

  • двойственные оценки (теневые цены) 1 и 2 типов ресурсов положительные. Это еще раз подтверждает, что ресурсы 1 и 2 типа являются дефицитными. Двойственная оценка 1 типа ресурсов показывает, что при его изменении на 1 единицу значение целевой функции измениться на 3 единицы. Аналогично двойственная оценка 2 типа ресурсов, показывает изменение значения целевой функции на 4 единицы, при изменении ресурса 2-ого типа на 1 единицу. Следовательно, наиболее предпочтительным (с точки зрения увеличения запаса ресурсов) из дефицитных ресурсов является ресурс 2 типа, поскольку его изменение обеспечивает наибольший прирост целевой функции.

  • интервалы изменения объемов используемых ресурсов, при которых сохраняется текущие оптимальные двойственные оценки, следующие:

1 тип ресурсов: [35-5; 35+25]

2 тип ресурсов: [30-12,5; 30+5]

3 тип ресурсов: [40-10; 40+0]

Изменение количества ресурсов за пределами интервалов устойчивости приводит к новым оценкам ресурсов. Так, увеличение ресурса 2 типа на 10 ед. не приведет к увеличению целевой функции на 10*4=40 руб., поскольку двойственная оценка будет иметь другое значение
5. Литература

  1. Акулич И. Л. Математическое программирование в примерах и задачах: Учеб. Пособие для студентов эконом. спец. вузов. – М.: Высш. шк., 1986. – 319 с., ил.

  2. Афанасьев М. Ю., Суворов Б. П. Исследование операций в экономике: модели, задачи, решения: Учеб. пособие. – М.: ИНФРА-М, 2003. – 244с. – (Серия «Высшее образование»).

  3. Бережная Е. В., Бережной В. И. Математические методы моделирования экономических систем: Учеб. пособие. – М.: Финансы и статистика, 2001. – 368 с.: ил.

  4. Исследование операций в экономике: Учебн. пособие для вузов/ Н. Ш. Кремер, Б. А. Путко, И. М. Тришин, М. Н. Фридман; Под ред. проф. Н. Ш. Кремера. – М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 1999. – 407 с.

  5. Маркин Ю. П. Математические методы и модели в экономике: Учеб. Пособие/ Ю. П. Маркин. – М.: Высш. шк., 2007. – 422 с.

  6. Решение оптимизационных задач в экономике / А. В. Каплан [и др.]. – Ростов н/Д: Феникс, 2007. – 541, [1] с.: ил. – («Высшее образование»).

  7. Таха Х. Введение в исследование операций. Т. 1. М.: Мир, 1895. – 479 с.

Похожие:

Методические указания для выполнения контрольной работы. Цель работы iconМетодические указания и контрольные задания по дисциплине «Экономика организации»
Методические указания предназначены для выполнения контрольной работы по дисциплине «Экономика организации» для студентов заочной...
Методические указания для выполнения контрольной работы. Цель работы iconМетодические указания по выполнению контрольной работы Цель и задачи контрольной работы
Цель и задачи контрольной работы. Цель работы состоит в том, чтобы развить у студентов навыки самостоятельной творческой работы,...
Методические указания для выполнения контрольной работы. Цель работы iconМетодические указания для выполнения контрольной работы
Цель контрольной работы – закрепление и проверка знаний, полученных студентами в процессе самостоятельного изучения учебного материала...
Методические указания для выполнения контрольной работы. Цель работы iconМетодические указания по выполнению контрольной работы Выполнению...
Цель выполнения контрольной работы: закрепление теоретических знаний по разработке стратегии предприятия и умение применять полученные...
Методические указания для выполнения контрольной работы. Цель работы iconМетодические указания для выполнения контрольной работы по дисциплине...
Задания и методические указания для выполнения контрольной работы по дисциплине «Бухгалтерский учет, экономический анализ и аудит»....
Методические указания для выполнения контрольной работы. Цель работы iconМетодические указания для выполнения контрольной работы. Цель работы
Изучить методику применения математического аппарата линейного программирования для задач формирования и анализа оптимальной производственной...
Методические указания для выполнения контрольной работы. Цель работы iconМетодические указания по выполнению контрольной работы Выполнению...
Цель выполнения контрольной работы: закрепление теоретических знаний по организации управления предприятием общественного питания...
Методические указания для выполнения контрольной работы. Цель работы iconМетодические указания по выполнению контрольной работы Для самостоятельной работы
Бухгалтерский учет. Методические указания по выполнению контрольной работы для студентов 3 курса специальностей «Экономика и социология...
Методические указания для выполнения контрольной работы. Цель работы iconМетодические указания для выполнения контрольной работы №1 по дисциплине...
Прежде чем приступить к выполнению контрольной работы №1, необходимо предварительно изучить материал по учебнику ([1], § 3, 5) и...
Методические указания для выполнения контрольной работы. Цель работы iconМетодические указания и задание для контрольной работы выполнение...
Контрольная работа включает восемь заданий и выполняется по индивидуальному варианту. Выбор варианта определяется первой буквой фамилии....
Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2014
shkolnie.ru
Главная страница