Учебно-методический комплекс по дисциплине «Физика сплошных сред»

уравнение Навье-Стокса. В общем виде с учетом (1.5), (1.6) оно выглядит следующим образом: (1.7) Для несжимаемой жидкости из (1.7) имеем: , (1.8) где - кинематическая вязкость жидкости. При этом силу, действующую на твердое тело со стороны установившегося потока вязкой жидкости, можно вычислить следующим образом: (1.9) где - внешняя нормаль к поверхности тела . Здесь первое слагаемое представляет собой силу давления жидкости на тело, а второе - вязкую силу. Следовательно, вязкая сила, действующая на единицу поверхности тела, равна . (1.10) Теперь обсудим условия, при которых поток жидкости или газа можно считать несжимаемым. При адиабатическом изменении давления на плотность жидкости изменится на величину . (1.11) Но согласно уравнению Бернулли (1.3) колебания давления в стационарно движущейся жидкости - порядка . Производная представляет собой квадрат скорости звука в жидкости. Таким образом, из (1.11) находим оценку: . (1.12) Жидкость можно считать несжимаемой, если выполняется условие: . (1.13) Из выражений (1.12) и (1.13) следует, что необходимым условием несжимаемости жидкости (газа) является малость скорости ее движения по сравнению со скоростью звука: . (1.14) Условие малости числа Маха (см. Введение данного), эквивалентное условию (1.14), достаточно, чтобы считать поток жидкости или газа можно несжимаемым. Однако, это имеет место только при стационарном движении. Оценки показывают, что ошибка, обусловленная принятием газов за несжимаемые жидкости, возрастает пропорционально квадрату скорости [4]. Так, предположение о несжимаемости газов при скорости 100 м/с влечет за собой ошибку порядка 4%. Однако при очень многих расчетах такая погрешность вполне допустима. При нестационарном течении жидкости или газа необходимо выполнение еще одного условия. Получим его, опираясь на следующие качественные соображения [2]. Пусть и - величины порядка промежутков времени и расстояний соответственно, на которых скорость жидкости испытывает заметное изменение. Сравнив члены и в уравнении Эйлера (1.2), получим, по порядку величины: . Следовательно, изменение давления можно оценить следующим образом: , а соответствующее изменение плотности согласно выражению (1.11) есть . Сравним теперь члены и в уравнении неразрывности (1.1-б). Производной можно пренебречь (то есть считать, что ) в случае, если: . Таким образом, приходим к следующей оценке характерного времени изменения скорости потока жидкости или газа: . (1.15) Условие (1.15) имеет простой физический смысл – оно означает, что время, в течение которого звуковой сигнал пройдет расстояние , мало по сравнению со временем , в течение которого заметно изменяется характер движение жидкости и, таким образом, дает возможность рассматривать процесс распространения взаимодействий в жидкости как мгновенный. ^ ОБТЕКАНИЕ ПЛОСКИМ ВОЗДУШНЫМ ПОТОКОМ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ТЕЛ Рассмотрим потенциальное течение идеальной несжимаемой жидкости (газа). Для описания движения идеальной несжимаемой жидкости запишем следующую систему уравнений (см. Раздел 1): , . Используя векторное тождество в уравнении Эйлера, и применив к нему операцию , получим: , . Если движение жидкости потенциальное, то , и система принимает вид: , . Введем потенциал скорости : . Тогда имеем , . Таким образом, решение задач о потенциальном течении идеальной несжимаемой жидкости сводится к решению одного скалярного уравнения (2.1) с учетом граничных условий. При соприкосновении идеальной жидкости с твердым телом должно выполняться так называемое граничное условие «непроникания»: или , (2.2) если тело покоится (- нормаль к поверхности раздела), и условие или , (2.3) если тело движется со скоростью . Полнее всего теория потенциального движения идеальной несжимаемой жидкости разработана в случае плоского потенциального течения (когда от одной координаты, например, от , ничего не зависит, и =0). Введем функцию - функцию тока – так, чтобы уравнение неразрывности для плоского течения удовлетворялось автоматически. Для этого выразим компоненты скорости через функцию тока следующим образом: , . (2.4) Термин «функция тока» обусловлен тем, что линиями тока течения являются линии . Несложно показать, что в случае потенциального течения (при ) функция тока удовлетворяет уравнению Лапласа: . (2.5) Используем другую скалярную функцию для описания плоского потенциального течения - функцию потенциала скорости : . Тогда компоненты скорости можно записать через функцию потенциала скорости следующим образом: , . (2.6) Заметим также, что линии тока ортогональны изопотенциальным линиям . С математической точки зрения соотношения (2.4) и (2.6) совпадают с условиями Коши - Римана, выражающими собой тот факт, что функция (2.7) является аналитической функцией комплексного аргумента , т.е. обладает свойством дифференцируемости. Функция называется комплексным потенциалом, а ее производная - комплексной скоростью. Таким образом, любой аналитической функции комплексного аргумента можно поставить в соответствие плоское потенциальное течение идеальной несжимаемой жидкости. Допустим, у нас решена определенная задача о двумерном потенциальном течении в некоторой области с определенными граничными условиями, т. е. найден комплексный потенциал . Перейдем с помощью конформного преобразования к другой комплексной переменной , связанной с z формулой При этом комплексный потенциал преобразуется к виду: , который в плоскости будет соответствовать какому-то новому течению. С помощью этой процедуры иногда удается получить решение весьма сложных задач. Решим задачу о стационарном обтекании кругового цилиндра однородным потоком жидкости (газа) со скоростью на бесконечности методом конформного преобразования. Пусть на плоскости задана окружность , где - радиус цилиндра (рис.2.1-а). Будем искать решение уравнения Лапласа (2.8) при следующих граничных условиях: на поверхности цилиндра при нормальная компонента скорости равна нулю, при невозмущенный поток имеет компоненты скорости , . Выражая последние через потенциал скорости, запишем граничные условия в виде: , , . (2.9) Напомним, что функция тока также удовлетворяет уравнению Лапласа (2.5) и вместе с функцией потенциала скорости образует комплексный потенциал (2.7). Рис. 2.1. Иллюстрация к преобразованию Жуковского Отобразим область вне окружности конформным преобразованием на плоскость с разрезом от -1 до +1, изображенную на рис. 2.1-б. Это преобразование называется преобразованием Жуковского [3]: . (2.10) При этом окружность стягивается в отрезок, простирающийся по от -1 до 1, проходимый дважды. В результате комплексный потенциал примет вид: Первое граничное условие из (2.9) переходит в условие: , Поскольку при конформном преобразовании сохраняются углы между линиями (в данном случае сохраняется прямой угол между границей и нормалью к ней). При имеем переход: , и для потенциала: . Следовательно, где , откуда получаем искомые новые граничные условия на бесконечности: , . Таким образом, мы получили задачу об обтекании бесконечно узкой полосы набегающим из бесконечности потоком со скоростью . Решением этой задачи, как было показано ранее, является поток со скоростью, одинаковой во всех точках пространства. Комплексный потенциал такого потока нам известен и равен . Возвращаясь от переменной к переменной в соответствии с формулой (2.10), получим выражение для комплексного потенциала исходной задачи: (2.11) Отсюда для потенциала скорости имеем: (2.12) Соответственно для компонент скорости получаем: (2.13) Несложно проверить, что граничные условия (2.9) выполняются. При этом на поверхности цилиндра () находим: (2.14) Из (2.14) следует, что максимальная скорость имеет место в плоскости миделя (при ), где . Зная скорость, можно в любой точке жидкости найти давление, используя теорему Бернулли (1.3-б). Поскольку нам известно распределение скорости по поверхности цилиндра (2.14), мы можем определить давление на ней: . (2.15) Здесь давление на бесконечности обозначено . Из формулы (2.15) следует, что давление в лобовой точке () превышает давление на бесконечности. Такой же величины оно достигает и в симметричной точке за цилиндром (). При приближении к плоскости миделя () давление монотонно падает до величины, меньшей . В качестве характеристики, описывающей распределение давления, вводят

Похожие:

	Учебно-методический комплекс по дисциплине «Рентгенография кристаллов» Учебно-методическое пособие предназначено для студентов ннгу, обучающихся по направлению подготовки 011200. 62 «Физика», изучающих...		Учебно-методический комплекс курс по выбору по дисциплине « дв4» Учебно-методический комплекс по дисциплине " Технические и аудиовизуальные средства обучения"
	Учебно-методический комплекс по дисциплине « Б2» Учебно-методический комплекс (далее умк) по дисциплине «Информатика» разработан в соответствии с требованиями фгос впо к обязательному...		Учебно-методический комплекс по дисциплине «Информатика» Учебно-методический комплекс по дисциплине «Использование современных информационных и коммуникационных технологий» разработан в...
	Учебно-методический комплекс по дисциплине «Информатика» Учебно-методический комплекс по дисциплине «Использование современных информационных и коммуникационных технологий» разработан в...		Учебно-методический комплекс по дисциплине « дв32» Учебно-методический комплекс по дисциплине " Технические и аудиовизуальные средства обучения"
	Учебно-методический комплекс по дисциплине « дв6» Учебно-методический комплекс по дисциплине " Технические и аудиовизуальные средства обучения"		Учебно-методический комплекс по дисциплине « дв12» Учебно-методический комплекс по дисциплине " Технические и аудиовизуальные средства обучения"
	Учебно-методический комплекс по дисциплине « дв6» Учебно-методический комплекс по дисциплине " Технические и аудиовизуальные средства обучения"		Учебно-методический комплекс по дисциплине « дв12» Учебно-методический комплекс по дисциплине " Технические и аудиовизуальные средства обучения"