Рабочая программа учебной дисциплины Теория оптимального управления по специальности 06. 18. 00 «Математические методы в экономике»

Рабочая программа учебной дисциплины

Теория оптимального управления

^ Москва - 2009

Рабочая программа учебной дисциплины «Теория оптимального управления» составлена в соответствии с государственным образовательным стандартом высшего профессионального образования подготовки экономистов-математиков.

• 
  основные теоретические результаты вариационного исчисления и оптимального управления, полученные Лагранжем, Понтрягиным, Беллманом (основы вариационного исчисления, принцип максимума Понтрягина, условия оптимальности Беллмана).
  
• 
  теоретические и практические методы качественного анализа, магистральная теория динамических систем.
  
• 
  методы числовой оптимизации динамических систем.
  
• 
  оптимизация инвестиционных процессов на основе метода динамического программирования.
  

• 
  задачи оптимального управления экономическими системами;
  
• 
  основные понятия: функционал, вариация функционала;
  
• 
  классические задачи вариационного исчисления;
  
• 
  уравнение Эйлера;
  
• 
  условие Лежандра;
  
• 
  условие трансверсальности;
  
• 
  принцип максимума Понтрягина;
  
• 
  принцип оптимальности и уравнение Беллмана;
  
• 
  многошаговые задачи оптимизации методом динамического управления:
  
• 
  теорему о магистрали для многоотраслевых динамических моделей;
  
• 
  решение задачи оптимизации инвестиционного процесса методом динамического программирования.
  

1. 
   Определения управления, системы, структуры, цели системы.
   
2. 
   Фазовые координаты.
   
3. 
   Управляющие переменные.
   
4. 
   Уравнения движения.
   
5. 
   Целевой функционал.
   
6. 
   Граничные условия:
   
7. 
   Конечный момент времени.
   

1. 
   Дать определение задачи оптимального управления.
   
2. 
   Привести формальное выражение целевого функционала.
   
3. 
   Сформулировать общую постановку задачи управления.
   

1. 
   Линейное пространство.
   
2. 
   Векторное пространство.
   
3. 
   Линейное нормированное пространство.
   
4. 
   Норма элемента пространства.
   
5. 
   Функционал в линейном нормированном пространстве.
   
6. 
   Вариация функционала.
   
7. 
   Классическая задача вариационного исчисления.
   
8. 
   Уравнение Эйлера.
   
9. 
   Экстремаль.
   
10. 
    Условие Лежандра.
    

1. 
   Определить понятие допустимой траектории в решении задачи вариационного исчисления.
   
2. 
   Основная лемма вариационного исчисления.
   
3. 
   Формальный вывод уравнения Эйлера.
   
4. 
   Записать формальную постановку задачи оптимального уравнения в случае n фазовых координат.
   

1. 
   понятие сопряженных переменных.
   
2. 
   постановка задачи оптимального управления в форме Л.С. Понтрягина.
   
3. 
   управляемая функция Гамильтона;
   
4. 
   Функция Гамильтона.
   

2. 
   Определение функции Гамильтона в задаче оптимального управления.
   
3. 
   Сопряженные переменные – динамические эквиваленты множителей Лагранжа в задачах статической оптимизации .
   

2. 
   Функция оптимального поведения.
   
3. 
   Основное рекуррентное соотношение.
   
4. 
   Уравнение Беллмана.
   
5. 
   Граничное условие уравнения Беллмана.
   
6. 
   Многошаговые задачи оптимизации.
   
7. 
   Формальная постановка задачи многошаговой оптимизации.
   

1. 
   Классическая вариационная задача как частный случай задачи динамического программирования .
   
2. 
   Выявить взаимосвязь уравнения Беллмана с уравнением Эйлера.
   
3. 
   Выявить взаимосвязь условия Лежандра и необходимого условия максимума уравнения Беллмана.
   
4. 
   Оптимальное значение целевой функции для начального состояния и начального момента времени.
   
5. 
   Оптимальное значение целевой функции для начального состояния и конечного момента времени.
   

1. 
   Структура и математическое описание задач управления.
   
2. 
   Структура объекта управления, уравнение движения объекта
   
3. 
   Формальная постановка задачи оптимального управления.
   
4. 
   Геометрическая интерпретация задачи оптимального управления в случае одной фазовой координаты.
   
5. 
   Классические постановки вариационных задач.
   
6. 
   Функционалы в линейных нормированных пространствах, вариация функционал
   
7. 
   Классическая вариационная задача.
   
8. 
   Уравнение Эйлера, понятие экстремали.
   
9. 
   Условие Лежандра.
   
10. 
    Условие Вейерштрасса.
    
11. 
    Условие Вейерштрасса-Эрдмана.
    
12. 
    Условие трансверсальности.
    
13. 
    геометрическая интерпретация вариации траектории решения задачи с фиксированной конечной поверхностью.
    
14. 
    Интегральные ограничения, ограничения в форме равенств, неравенств, связывающих фазовые координаты.
    
15. 
    Сущность подхода метода динамического программирования.
    
16. 
    Формулировка принципа оптимальности.
    
17. 
    Функция оптимального поведения.
    
18. 
    Основное рекуррентное соотношение.
    
19. 
    Уравнение Беллмана
    
20. 
    Динамическое программирование и вариационное исчисление.
    
21. 
    Многошаговые задачи оптимального управления методом динамического программирования.
    
22. 
    Понятие сопряженных переменных.
    

23. 
    Функция Гамильтона.