К примерам решения задач к вариантам задач к титулу 1 2




Скачать 455.84 Kb.
НазваниеК примерам решения задач к вариантам задач к титулу 1 2
страница1/4
Дата публикации16.04.2013
Размер455.84 Kb.
ТипДокументы
shkolnie.ru > Астрономия > Документы
  1   2   3   4
Часть I

Раздел 1.
ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ.

МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ.

ЭЛЕМЕНТЫ РЕЛЯТИВИСТСКОЙ

ДИНАМИКИ


К примерам решения задач


К вариантам задач


К титулу

1 2
Основные формулы

Радиус-вектор, определяющий положение материальной точки в пространстве, и его модуль



r = xi + yj + zk,


где x, y, z – координаты точки; i, j, k – единичные векторы, направленные по осям прямоугольной системы координат.

^

Кинематическое уравнение движения материальной точки



r(t) = xi + yj + zk,
где x = f1(t), y = f2(t), z = f3(t) - функции, выражающие зависимость координат точки от времени t.
^ Средняя скорость
v = ,
где r - вектор перемещения.
Мгновенная скорость и ее модуль
,

Среднее ускорение




a = .
Мгновенное ускорение и его модуль
,


Ускорение при криволинейном движении:
- тангенциальное

;

- нормальное

;

- полное

,
где R - радиус кривизны траектории; n - единичный вектор нормали к траектории;  - единичный вектор, направленный по касательной к траектории.
^ Средняя угловая скорость

3 4
,

где  = (t) - вектор угла вращения абсолютно твердого тела, направленный вдоль оси вращения.
Мгновенная угловая скорость
.

^ Угловое ускорение
.
Связь между линейными и угловыми величинами
s = R, v = R,

a = R, an = 2R.
Импульс (количество движения) материальной точки
p = mv.
Основное уравнение динамики материальной точки (второй закон Ньютона)

Виды сил:
сила гравитационного взаимодействия
,
где  - гравитационная постоянная; m1 и m2 - взаимодействующие массы; r - расстояние между ними;

сила тяжести
P = mg,
где g - ускорение свободного падения;
сила упругости

F = -kx,

где k - коэффициент упругости (жесткость); x - абсолютная деформация.
сила трения
Fтр = kN,
где k - коэффициент трения; N - сила нормального давления.
Работа, совершаемая переменной силой
.
Мощность

^ Кинетическая энергия тела при поступательном движении
.
Потенциальная энергия:
упругодеформированной пружины (стержня)


5 6

;
гравитационного взаимодействия двух масс
;
тела, находящегося в однородном поле силы тяжести вблизи поверхности Земли
П = mgh,
где h - расстояние между телом и поверхностью Земли.

^

Закон сохранения механической энергии в замкнутой системе из n материальных тел, между которыми действуют консервативные силы




Закон сохранения импульса для изолированной системы материальных тел

где n – число материальных тел; mi - их массы.
^ Основное уравнение динамики вращательного движения абсолютно твердого тела относительно неподвижной оси вращения z
Mz = Jz,
где Mz – результирующий момент внешних сил; действующих на тело относительно оси z; Jz – момент инерции тела относительно оси вращения;  - угловое ускорение.
^ Момент инерции материальной точки
J = mr2,
где m - масса материальной точки; r -расстояние от точки до оси вращения.
Момент инерции:
однородного шара радиусом R и массы m (если ось вращения проходит через центр шара)
;

сплошного цилиндра или диска радиусом R и массы m (если ось вращения проходит через центр масс перпендикулярно плоскости основания)
;
тонкого обруча или кольца радиусом R и массы m (если ось вращения проходит через центр масс перпендикулярно плоскости обруча)
Jz = mR2;
однородного тонкого стержня длиной l и массы m (если ось вращения проходит через центр масс стержня перпендикулярно стержню)


7 8
;

однородного тонкого стержня длиной l и массы m (если ось вращения проходит через конец стержня перпендикулярно стержню)
.
^ Момент инерции тела массы m относительно неподвижной оси, не проходящей через центр масс и параллельной оси z
J = Jz + ma2,
где Jz - момент инерции тела относительно оси z; проходящей через центр масс; a - расстояние между осями.
^ Момент силы
М = r  F.

Момент импульса тела
L = J.
Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела

.
^ Проекция момента импульса тела на неподвижную ось вращения
Lz = Jz.

Закон сохранения
момента импульса для изолированной системы твердых тел
;
момента импульса для изолированной системы твердых тел относительно неподвижной оси вращения z
.
Работа постоянного момента внешних сил при вращении твердого тела
A = Mz,
где  - угол поворота.
Мощность, развиваемая моментом внешних сил
.

^ Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси z
или .
^ Кинематическое уравнение гармонических колебаний материальной точки


9 10

x = Acos(t+o)
{x = Asin(t+o)},
где x - смещение колеблющейся точки от положения равновесия; A – амплитуда;  - круговая (циклическая) частота; o - начальная фаза колебаний.

^

Скорость материальной точки, совершающей гармонические колебания



= -Asin(t+o)

{v = Acos(t+o)}.
Ускорение материальной точки, совершающей гармонические колебания
= -A2cos(t+o)

{a = -A2sin(t+o)}.
^

Динамическое уравнение гармонических колебаний



или

где.

Полная механическая энергия материальной точки, совершающей гармонические колебания
.
^ Период колебаний маятника:
пружинного

математического

физического

где J - момент инерции маятника; a - расстояние от центра масс маятника до оси колебаний.
^ Уравнение затухающих колебаний
или ,
где r - коэффициент сопротивления среды;  = 2r/m - коэффициент затухания;  - частота затухающих колебаний.
^ Решение уравнения затухающих колебаний
x = Aoe-tcos(t + o),
где Aoe-t - амплитуда затухающих колебаний; - частота затухающих колебаний; о - частота собственных колебаний.
Логарифмический декремент затухающих колебаний

11 12

где Т - период колебаний.
Уравнение вынужденных колебаний


или
где Focost - внешняя сила, вызывающая вынужденные колебания.
^

Амплитуда вынужденных колебаний при резонансе



.
Частота вынужденных колебаний при резонансе
.
^ Релятивистская длина стержня в направлении движения со скоростью v
или ,
где lo - длина стержня в состоянии покоя (v = 0); с - скорость распространения света в вакууме;  = v/c.
Релятивистская масса в зависимости от скорости движения
или
Релятивистское изменение времени

где to - собственное время, измеренное в состоянии покоя.
Релятивистский импульс частицы

^ Энергия покоя частицы
Eo = moc2.
Полная энергия релятивистской частицы

Кинетическая энергия релятивистской частицы
.

^ Связь между энергией и импульсом релятивистской частицы



13 14
.
^ Закон Гука (при продольном растяжении или сжатии)
= Е,
где  = F/S - нормальное напряжение, равное отношению упругой силы F к площади S поперечного сечения; Е - модуль Юнга;  = l/l - относительная деформация, равная отношению абсолютной деформации l к первоначальной длине l образца.
Модуль упругости при изгибе тел прямоугольного сечения

где Р – сила, вызывающая деформацию (изгиб);  - величина деформации (стрела прогиба); l – длина тела; а – ширина поперечного сечения тела; b – высота поперечного сечения тела.
^ Потенциальная энергия упругодеформированного образца

где V - объем образца.
Сила внутреннего трения в жидкости
,
где  - динамическая вязкость; v - скорость тела; dS – элемент площади жидкого слоя.
^ Сила сопротивления движению малых сферических тел в жидкости (сила Стокса)
F = 6rv,
где  - динамическая вязкость; v - скорость тела; r – радиус сферы.

Примеры решения задач

Пример 1. Материальная точка начинает двигаться с ускорением а = Ati + Btj (А = 3 м/с3; В = 4 м/с3). Найти зависимость скорости движения материальной точки от времени, а также ее скорость и ускорение через 10 секунд после начала движения.


Дано:
а = Ati + Btj

А = 3 м/с3

В = 4 м/с3

t = 10 с

В единицах СИ:

Решение. 1. В двухмерной системе координат ускорение материальной точки может быть записано в виде:



Зависимость скорости движения от времени будем искать в виде:

v = vxi  vyj.

Составляющие скорости vx и vy найдем путем интегрирования из соотношений:

Найти:

v(t), a(t = 10), v(t = 10)

и

и .

Так как в начальный момент времени материальная точка покоилась, vox = voy = 0.

Тогда и , т. е t2i + 2t2j.
2. Модули скорости и ускорения материальной точки в любой момент времени можно представить в виде:

;

a =

Произведем вычисления значений v и a в момент времени t = 10 c.


15 16
= 250 м/с; м/с2.

Ответ. Скорость движения материальной точки изменяется со временем t по закону: t2i + 2t2j; в момент времени t = 10 с v = 250 м/с, а = 50 м/с2.
Пример 2. Маховик, вращаясь равнозамедленно, сделал до полной остановки 100 оборотов. Сколько времени длилось равнозамедленное движение, если начальная частота вращения была равна 20 с-1?


Дано:
N =100

no=20 c-1

 = const

В единицах СИ:

Решение. Угол поворота, соответствующий оборотам, в единицах СИ равен  = 2N.

Запишем систему уравнений движения в случае постоянного углового ускорения

Найти: t



С учетом того, что 0 = 0,  = 2N, 0 = 2n0 и  = 0, запишем эту систему уравнений в виде:



Решаем систему уравнений. Из 2-го уравнения находим: тогда 1-ое уравнение примет вид:

В результате находим, что .

Подставив численные значения N и n0, получим:

Ответ. Движение длилось 10 с.
Пример 3. Искусственный спутник движется вокруг Земли по круговой орбите, находящейся в плоскости экватора, на высоте h от Земли. Во время движения спутник все время находится над одной и той же точкой земной поверхности. Определить угловую скорость , линейную скорость v и высоту полета h спутника. (Масса Земли Мз = 5,971024 кг, радиус Земли Rз = 6,37106 м, гравитационная постоянная  = 6,6710-11 м3/(кгс2)).


Дано:
Т = 24 ч

Мз = 5,971024 кг

 = 6,6710-11 м3/(кгс2)

Rз = 6,37106 м

В единицах СИ:
Т = 8,64103 с

v

Fгр h


R

Найти: , v, h






Рис. 1.1.


Решение. 1. Угловую скорость спутника найдем из условия, что период его обращения вокруг Земли совпадает с периодом суточного вращения Земли Т:

(1)

2. Спутник движется по круговой орбите с ускорением где R = RЗ + h – радиус орбиты, а v - линейная скорость спутника (рис. 1.1). Это ускорение обусловлено действием силы всемирного тяготения между массой спутника m и массой Земли МЗ:

(2)

Подставив выражения для силы (2) и ускорения в формулу для второго закона Ньютона F = ma, получим:



Из второго выражения находим

Легко видеть (см. рис. 1.2), что

3. Линейную скорость спутника v находим из соотношения v = R.

Произведем вычисления:


17 18




h = (42,24 - 6,37)106 = 35,87106 м;
v = 7,2710-542,24106 = 3071 м/с.
Ответ. h = 35870 км; v = 3071 м/с.
Пример 4. На тело, движущееся со скоростью v0 = 3 м/с, начинает действовать сила F = 10 H. За время t = 6 с кинетическая энергия тела увеличилась на 100 Дж. Найти скорость v1 тела в конце действия силы и его массу т.


Дано:

v0 = 3 м/с2

F = 10 H

t = 2 с

∆Ех = 100 Дж

В единицах СИ:

Решение. Изменение кинетической энергии тела можно выразить как:

(3)

Изменение импульса тела по второму закону Ньютона будет равно импульсу силы, то есть .


Найти: v1, т

Из этого выражения находим массу тела

(4)

После подстановки полученного выражения (4) для массы тела в выражение (3) для кинетической энергии получим:



Отсюда находим: а

Произведем вычисления:

м/с;



Ответ. Конечная скорость тела равна 7 м/с, а масса тела – 5 кг.
Пример 5. Из залитого колодца, площадь дна которого S = 1 м2, требуется выкачать воду на мостовую. Глубина воды в колодце h = 2 м, а расстояние от уровня воды до мостовой Н = 5 м (рис. 1.2). Найти наименьшую работу, которую необходимо затратить на откачку воды.


Дано:
S = 1 м2

h = 2 м

Н = 5 м

 =1103 кг/м3

В единицах СИ:

x

H dF


h dx

0

Найти: А


Рис. 1.2


Решение. 1. Так как уровень воды будет уменьшаться при откачке, работа по ее подъему может быть найдена путем интегрирования работ по подъему отдельных слоев воды. Выберем на расстоянии x от дна колодца слой воды толщиной dx. Для подъема этого слоя на поверхность нужно преодолеть расстояние l = H + h - x, приложив при этом силу dF, равную по величине весу слоя воды dx:
dF = dmg = gdV = gSdx.
Таким образом, работа по подъему выбранного слоя воды будет равна:
dA = dFl = gS(H + h - x)dx
Интегрируя по всей толще воды, получим:



2. Работа по подъему воды на поверхность равна разности потенциальных энергий воды на мостовой и на дне колодца:
А = П2 - П1.
Потенциальная энергия воды на мостовой П2 относительно дна колодца равна:
^ П2 = mg(H + h) = hSg(H + h).


19 20

Потенциальная энергия воды в колодце, центр тяжести которой находится на высоте h/2, равна:


Таким образом,

Произведем вычисления:


Ответ. Работа по откачке воды составит 1,17105 Дж.
Пример 6. Ударная часть молота копровой установки для забивания свай, масса которой m1 = 800 кг, падает с постоянной скоростью v1 = 5 м/с и забивает сваю массой m2 = 2 т в котлован под фундамент здания. Определить: а) величину кинетической энергии Т1 молота при ударе; б) энергию Т2 , затраченную на погружение сваи в грунт котлована (считая удар абсолютно неупругим); в) коэффициент полезного действия (КПД) установки.


Дано:
m1 = 800 кг

v1 = 5 м/с

m2 = 2 т

v2 = 0

В единицах СИ:


m2 = 2103 кг

Решение. 1. Кинетическая энергия Т1 ударной части молота, имеющая при ударе скорость v1 = 5 м/с, равна



Подставив в выражение для Т1 массу m1 = 800 кг и скорость v1 = 5 м/с, получим:

Найти: Т1, Т2,


2. Удар молота о сваю неупругий, поэтому после удара молот и свая будут двигаться вместе с одинаковой скоростью u. Величину u в момент удара найдем, воспользовавшись законом сохранения импульса при ударе

m1v1 + m2v2 = (m1 + m2)u,
с учетом того, что v1 и u имеют одно и то же направление, а v2 = 0, так как свая до удара покоилась:

(5)

Скорость u молота и сваи после удара быстро уменьшается до нуля вследствие сопротивления грунта, при этом кинетическая энергия Т2, равная
(6)
расходуется на погружение сваи в грунт котлована.

Подставив (5) в (6), найдем Т2:
(7)
После подстановки в (7) численных значений m1, m2, Т1 получим:

3. КПД при ударе молота о сваю равен отношению полезной энергии Т2, затраченной на забивание сваи в грунт котлована, к энергии Т1 падающего молота

Подставив в это отношение выражение получим .

После подстановки численных значений m1 и m2 получаем:

Ответ. Величина кинетической энергии ударной части молота при ударе Т1 = 1104 Дж; величина энергии, затраченной на погружение сваи в грунт Т2  2,86103 Дж; КПД при ударе  29%.
Пример 7. Маховик массой 4 кг свободно вращается с частотой 720 оборотов в минуту вокруг горизонтальной оси, проходящей через его центр. Массу маховика можно считать равномерно распределенной по его ободу радиусом 40 см. Через 30 с после включения постоянного тормозящего момента маховик остановился. Найти тормозящий момент и число оборотов, которое сделает маховик до полной остановки.


21 22



Дано:
m = 4 кг

n = 720 мин-1

R = 40 см

t = 30 c

 = 0

В единицах СИ:
n = 12 с-1

R = 0,4 м

Решение. 1. Для определения тормозящего момента М сил, действующих на вращающееся тело, нужно применить основное уравнение динамики вращательного движения
M = J, (8)
где J - момент инерции маховика относительно оси, проходящей через центр масс; = /t - постоянное угловое ускорение маховика. По условию задачи  = - о = - о, где о - начальная угловая скорость маховика, т. к. конечная угловая скорость = 0.

Найти: M, N





Выразим начальную угловую скорость через частоту вращения маховика о = 2n. Тогда  = - 2n, а  = 2n/t.

Момент инерции маховика

J = mR2,

где m - масса маховика, R - его радиус.

Тогда после подстановки выражений для J и в (8) получим:



Произведем вычисления:
М = (2  3,14  12  4  0,16)/30  1,61 Нм (с-1 кгм2/с = Нм).
2. Угол поворота, то есть угловой путь  за время вращения маховика до полной остановки, может быть определен из решения уравнения для равнозамедленного вращения

(9)

После подстановки в (9) полученных выше выражений о = 2n и =2n/t, с учетом того, что 0 = 0, находим:



Так как = 2N, то число оборотов маховика до его полной остановки составляет

После подстановки численных значений n и t получаем:
N = 12c-130c/2 = 180.
Ответ. Тормозящий момент М  1,61 Нм; число оборотов, которое сделает маховик до полной остановки, N = 180.
Пример 8. Шарик массой т = 100 г, прикрепленный к невесомой нити длиной l0 = 1м, вращается в горизонтальной плоскости вокруг вертикальной оси с частотой 20 оборотов в секунду. Нить укоротили до длины l1 = 25 см. Определить частоту вращения шарика n1 и совершенную при укорачивании нити работу А.


Дано:
m = 100 г

l0 = 1 м

l1 = 25 см

n0 = 20 с-1

В единицах СИ:
m = 0,1 кг
l1 = 0,25 м


Решение: По закону сохранения момента импульса
J00 = J11, (10)
где - момент инерции шарика при длине нити l0; - первоначальная угловая скорость вращения; - момент инерции шарика при длине нити l1; 1 = 2n1 - угловая скорость вращения шарика при длине нити l1.

Найти: n1, А



  1   2   3   4

Похожие:

К примерам решения задач к вариантам задач к титулу 1 2 iconОбщий алгоритм решения астрономических (астрофизических) задач
Осуществляя решения задач по астрономии учащиеся должны знать не только общий алгоритм решения задач, но и уметь работать с частными...
К примерам решения задач к вариантам задач к титулу 1 2 icon«Методы и способы решения задач на поверхностное натяжение и капиллярные явления»
«Методы решения физических задач». Цель курса в целом, и урока в частности, повысить мотивацию к изучению физики, развивать логическое...
К примерам решения задач к вариантам задач к титулу 1 2 iconРешение олимпиадных задач по математике для учащихся 10-11-х классов...
Работа проводится в виде решения задач повышенной сложности и решения нестандартных задач
К примерам решения задач к вариантам задач к титулу 1 2 iconРешение олимпиадных задач по математике для учащихся 10-х классов...
Работа проводится в виде решения задач повышенной сложности и решения нестандартных задач
К примерам решения задач к вариантам задач к титулу 1 2 iconМетодические рекомендации по решению генетических задач Составитель
Решение задач способствует лучшему усвоению теории. Школьный учебник содержит минимум информации о закономерностях наследования и...
К примерам решения задач к вариантам задач к титулу 1 2 iconРекомендации по выполнению задач практикума:  
Рекомендации по выполнению задач практикума: практикум содержит 17 задач, позволяющих закрепить пройденный материал. Для усвоения...
К примерам решения задач к вариантам задач к титулу 1 2 iconМетоды решения физических задач
Учебно-методическое пособие предназначено для учителей физики, работающих в старших классах средних общеобразовательных учреждениях...
К примерам решения задач к вариантам задач к титулу 1 2 iconРабота № 2 «решение задач линейного программирования» Дисциплина «Методы оптимизации»
Цель: изучение методов решения задач линейного программирования, применение их к исследованию прикладных задач
К примерам решения задач к вариантам задач к титулу 1 2 iconРешение задач по теме «Сплавы, растворы, смеси»
Цели урока: рассмотреть алгоритм решения задач на сплавы, смеси и растворы: познакомиться с приёмами решения задач в математике и...
К примерам решения задач к вариантам задач к титулу 1 2 iconРешение нестандартных задач по теме: «Прогрессии»
Расширить систему методов решения задач с арифметической и геометрической прогрессиями
Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2014
shkolnie.ru
Главная страница