К примерам решения задач к вариантам задач к титулу 1 2

Скачать 455.84 Kb.

Название	К примерам решения задач к вариантам задач к титулу 1 2
страница	1/4
Дата публикации	16.04.2013
Размер	455.84 Kb.
Тип	Документы

shkolnie.ru > Астрономия > Документы

1 2 3 4

Часть I

Раздел 1.
ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ.

МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ.

ЭЛЕМЕНТЫ РЕЛЯТИВИСТСКОЙ

ДИНАМИКИ

К примерам решения задач

К вариантам задач

К титулу

1 2

Основные формулы

Радиус-вектор, определяющий положение материальной точки в пространстве, и его модуль

r = xi + yj + zk,

где x, y, z – координаты точки; i, j, k – единичные векторы, направленные по осям прямоугольной системы координат.

^

Кинематическое уравнение движения материальной точки

r(t) = xi + yj + zk,
где x = f₁(t), y = f₂(t), z = f₃(t) - функции, выражающие зависимость координат точки от времени t.
^ Средняя скорость
v = ,
где r - вектор перемещения.
Мгновенная скорость и ее модуль

Среднее ускорение

a = .
Мгновенное ускорение и его модуль

Ускорение при криволинейном движении:
- тангенциальное

;

- нормальное

;

- полное

,
где R - радиус кривизны траектории; n - единичный вектор нормали к траектории;  - единичный вектор, направленный по касательной к траектории.
^ Средняя угловая скорость

3 4
,

где  = (t) - вектор угла вращения абсолютно твердого тела, направленный вдоль оси вращения.
Мгновенная угловая скорость

.

^ Угловое ускорение

.
Связь между линейными и угловыми величинами
s = R, v = R,

a_ = R, a_n = ²R.
Импульс (количество движения) материальной точки
p = mv.
Основное уравнение динамики материальной точки (второй закон Ньютона)

Виды сил:
– сила гравитационного взаимодействия

,
где  - гравитационная постоянная; m₁ и m₂ - взаимодействующие массы; r - расстояние между ними;

– сила тяжести
P = mg,
где g - ускорение свободного падения;
– сила упругости

F = -kx,

где k - коэффициент упругости (жесткость); x - абсолютная деформация.
– сила трения
F_тр = kN,
где k - коэффициент трения; N - сила нормального давления.
Работа, совершаемая переменной силой

.
Мощность

^ Кинетическая энергия тела при поступательном движении

.
Потенциальная энергия:
– упругодеформированной пружины (стержня)

5 6

;
– гравитационного взаимодействия двух масс

;
– тела, находящегося в однородном поле силы тяжести вблизи поверхности Земли
П = mgh,
где h - расстояние между телом и поверхностью Земли.

^

Закон сохранения механической энергии в замкнутой системе из n материальных тел, между которыми действуют консервативные силы

Закон сохранения импульса для изолированной системы материальных тел

где n – число материальных тел; m_i - их массы.
^ Основное уравнение динамики вращательного движения абсолютно твердого тела относительно неподвижной оси вращения z
M_z = J_z,
где M_z – результирующий момент внешних сил; действующих на тело относительно оси z; J_z – момент инерции тела относительно оси вращения;  - угловое ускорение.
^ Момент инерции материальной точки
J = mr²,
где m - масса материальной точки; r -расстояние от точки до оси вращения.
Момент инерции:
– однородного шара радиусом R и массы m (если ось вращения проходит через центр шара)

;

– сплошного цилиндра или диска радиусом R и массы m (если ось вращения проходит через центр масс перпендикулярно плоскости основания)

;
– тонкого обруча или кольца радиусом R и массы m (если ось вращения проходит через центр масс перпендикулярно плоскости обруча)
J_z = mR²;
– однородного тонкого стержня длиной l и массы m (если ось вращения проходит через центр масс стержня перпендикулярно стержню)

7 8
;

– однородного тонкого стержня длиной l и массы m (если ось вращения проходит через конец стержня перпендикулярно стержню)

.
^ Момент инерции тела массы m относительно неподвижной оси, не проходящей через центр масс и параллельной оси z
J = J_z + ma²,
где J_z - момент инерции тела относительно оси z; проходящей через центр масс; a - расстояние между осями.
^ Момент силы
М = r  F.

Момент импульса тела
L = J.
Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела

.
^ Проекция момента импульса тела на неподвижную ось вращения
L_z = J_z.

Закон сохранения
– момента импульса для изолированной системы твердых тел

;
– момента импульса для изолированной системы твердых тел относительно неподвижной оси вращения z

.
Работа постоянного момента внешних сил при вращении твердого тела
A = M_z,
где  - угол поворота.
Мощность, развиваемая моментом внешних сил

.

^ Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси z

или

.
^ Кинематическое уравнение гармонических колебаний материальной точки

9 10

x = Acos(t+_o)
{x = Asin(t+_o)},
где x - смещение колеблющейся точки от положения равновесия; A – амплитуда;  - круговая (циклическая) частота; _o - начальная фаза колебаний.

^

Скорость материальной точки, совершающей гармонические колебания

= -Asin(t+_o)

{v = Acos(t+_o)}.
Ускорение материальной точки, совершающей гармонические колебания

= -A²cos(t+_o)

{a = -A²sin(t+_o)}.
^

Динамическое уравнение гармонических колебаний

или

где

.

Полная механическая энергия материальной точки, совершающей гармонические колебания

.
^ Период колебаний маятника:
– пружинного

– математического

– физического

где J - момент инерции маятника; a - расстояние от центра масс маятника до оси колебаний.
^ Уравнение затухающих колебаний

или

,
где r - коэффициент сопротивления среды;  = 2r/m - коэффициент затухания;  - частота затухающих колебаний.
^ Решение уравнения затухающих колебаний
x = A_oe^-^^tcos(t + _o),
где A_oe^-^^t - амплитуда затухающих колебаний;

- частота затухающих колебаний; _о - частота собственных колебаний.
Логарифмический декремент затухающих колебаний

11 12

где Т - период колебаний.
Уравнение вынужденных колебаний

или

где F_ocost - внешняя сила, вызывающая вынужденные колебания.
^

Амплитуда вынужденных колебаний при резонансе

.
Частота вынужденных колебаний при резонансе

.
^ Релятивистская длина стержня в направлении движения со скоростью v
или _,
где l_o - длина стержня в состоянии покоя (v = 0); с - скорость распространения света в вакууме;  = v/c.
Релятивистская масса в зависимости от скорости движения

или

Релятивистское изменение времени

где t_o - собственное время, измеренное в состоянии покоя.
Релятивистский импульс частицы

^ Энергия покоя частицы
E_o = m_oc².
Полная энергия релятивистской частицы

Кинетическая энергия релятивистской частицы

.

^ Связь между энергией и импульсом релятивистской частицы

13 14
.
^ Закон Гука (при продольном растяжении или сжатии)
 = Е,
где  = F/S - нормальное напряжение, равное отношению упругой силы F к площади S поперечного сечения; Е - модуль Юнга;  = l/l - относительная деформация, равная отношению абсолютной деформации l к первоначальной длине l образца.
Модуль упругости при изгибе тел прямоугольного сечения

где Р – сила, вызывающая деформацию (изгиб);  - величина деформации (стрела прогиба); l – длина тела; а – ширина поперечного сечения тела; b – высота поперечного сечения тела.
^ Потенциальная энергия упругодеформированного образца

где V - объем образца.
Сила внутреннего трения в жидкости

,
где  - динамическая вязкость; v - скорость тела; dS – элемент площади жидкого слоя.
^ Сила сопротивления движению малых сферических тел в жидкости (сила Стокса)
F = 6rv,
где  - динамическая вязкость; v - скорость тела; r – радиус сферы.

Примеры решения задач

Пример 1. Материальная точка начинает двигаться с ускорением а = Ati + Btj (А = 3 м/с³; В = 4 м/с³). Найти зависимость скорости движения материальной точки от времени, а также ее скорость и ускорение через 10 секунд после начала движения.

Дано: а = Ati + Btj А = 3 м/с³ В = 4 м/с³ t = 10 с	В единицах СИ:	Решение. 1. В двухмерной системе координат ускорение материальной точки может быть записано в виде: Зависимость скорости движения от времени будем искать в виде: v = v_xi  v_yj. Составляющие скорости v_x и v_y найдем путем интегрирования из соотношений:
Найти: v(t), a(t = 10), v(t = 10)

.

Так как в начальный момент времени материальная точка покоилась, v_ox = v_oy = 0.

Тогда

, т. е

t²i + 2t²j.
2. Модули скорости и ускорения материальной точки в любой момент времени можно представить в виде:

;

a =

Произведем вычисления значений v и a в момент времени t = 10 c.

15 16
= 250 м/с;

м/с².

Ответ. Скорость движения материальной точки изменяется со временем t по закону:

t²i + 2t²j; в момент времени t = 10 с v = 250 м/с, а = 50 м/с².
Пример 2. Маховик, вращаясь равнозамедленно, сделал до полной остановки 100 оборотов. Сколько времени длилось равнозамедленное движение, если начальная частота вращения была равна 20 с^-1?

Дано: N =100 n_o=20 c^-1  = const	В единицах СИ:	Решение. Угол поворота, соответствующий оборотам, в единицах СИ равен  = 2N. Запишем систему уравнений движения в случае постоянного углового ускорения
Найти: t

С учетом того, что ₀ = 0,  = 2N, ₀ = 2n₀ и  = 0, запишем эту систему уравнений в виде:

Решаем систему уравнений. Из 2-го уравнения находим:

тогда 1-ое уравнение примет вид:

В результате находим, что

.

Подставив численные значения N и n₀, получим:

Ответ. Движение длилось 10 с.
Пример 3. Искусственный спутник движется вокруг Земли по круговой орбите, находящейся в плоскости экватора, на высоте h от Земли. Во время движения спутник все время находится над одной и той же точкой земной поверхности. Определить угловую скорость , линейную скорость v и высоту полета h спутника. (Масса Земли М_з= 5,9710²⁴ кг, радиус Земли R_з = 6,3710⁶ м, гравитационная постоянная  = 6,6710^-11 м³/(кгс²)).

Дано: Т = 24 ч М_з= 5,9710²⁴ кг  = 6,6710^-11 м³/(кгс²) R_з= 6,3710⁶ м	В единицах СИ: Т = 8,6410³ с		v F_гр h R
Найти: , v, h				Рис. 1.1.

Решение. 1. Угловую скорость спутника найдем из условия, что период его обращения вокруг Земли совпадает с периодом суточного вращения Земли Т:

(1)

2. Спутник движется по круговой орбите с ускорением

где R = R_З + h – радиус орбиты, а v - линейная скорость спутника (рис. 1.1). Это ускорение обусловлено действием силы всемирного тяготения между массой спутника m и массой Земли М_З:

(2)

Подставив выражения для силы (2) и ускорения в формулу для второго закона Ньютона F = ma, получим:

Из второго выражения находим

Легко видеть (см. рис. 1.2), что

3. Линейную скорость спутника v находим из соотношения v = R.

Произведем вычисления:

17 18

h = (42,24 - 6,37)10⁶ = 35,8710⁶ м;
v = 7,2710^-542,2410⁶ = 3071 м/с.
Ответ.

h = 35870 км; v = 3071 м/с.
Пример 4. На тело, движущееся со скоростью v₀ = 3 м/с, начинает действовать сила F = 10 H. За время t = 6 с кинетическая энергия тела увеличилась на 100 Дж. Найти скорость v₁ тела в конце действия силы и его массу т.

Дано: v₀ = 3 м/с² F = 10 H t = 2 с ∆Е_х = 100 Дж	В единицах СИ:	Решение. Изменение кинетической энергии тела можно выразить как: (3) Изменение импульса тела по второму закону Ньютона будет равно импульсу силы, то есть .
Найти: v₁, т

Из этого выражения находим массу тела

(4)

После подстановки полученного выражения (4) для массы тела в выражение (3) для кинетической энергии получим:

Отсюда находим:

Произведем вычисления:

м/с;

Ответ. Конечная скорость тела равна 7 м/с, а масса тела – 5 кг.
Пример 5. Из залитого колодца, площадь дна которого S = 1 м², требуется выкачать воду на мостовую. Глубина воды в колодце h = 2 м, а расстояние от уровня воды до мостовой Н = 5 м (рис. 1.2). Найти наименьшую работу, которую необходимо затратить на откачку воды.

Дано: S = 1 м² h = 2 м Н = 5 м  =110³ кг/м³	В единицах СИ:	x H dF h dx 0
Найти: А		Рис. 1.2

Решение. 1. Так как уровень воды будет уменьшаться при откачке, работа по ее подъему может быть найдена путем интегрирования работ по подъему отдельных слоев воды. Выберем на расстоянии x от дна колодца слой воды толщиной dx. Для подъема этого слоя на поверхность нужно преодолеть расстояние l = H + h - x, приложив при этом силу dF, равную по величине весу слоя воды dx:
dF = dmg = gdV = gSdx.
Таким образом, работа по подъему выбранного слоя воды будет равна:
dA = dFl = gS(H + h - x)dx
Интегрируя по всей толще воды, получим:

2. Работа по подъему воды на поверхность равна разности потенциальных энергий воды на мостовой и на дне колодца:
А = П₂ - П₁.
Потенциальная энергия воды на мостовой П₂ относительно дна колодца равна:
^ П₂ = mg(H + h) = hSg(H + h).

19 20

Потенциальная энергия воды в колодце, центр тяжести которой находится на высоте h/2, равна:

Таким образом,

Произведем вычисления:

Ответ. Работа по откачке воды составит 1,1710⁵ Дж.
Пример 6. Ударная часть молота копровой установки для забивания свай, масса которой m₁ = 800 кг, падает с постоянной скоростью v₁= 5 м/с и забивает сваю массой m₂ = 2 т в котлован под фундамент здания. Определить: а) величину кинетической энергии Т₁ молота при ударе; б) энергию Т₂, затраченную на погружение сваи в грунт котлована (считая удар абсолютно неупругим); в) коэффициент полезного действия (КПД)  установки.

Дано: m₁ = 800 кг v₁= 5 м/с m₂ = 2 т v₂= 0	В единицах СИ: m₂ = 210³ кг	Решение. 1. Кинетическая энергия Т₁ ударной части молота, имеющая при ударе скорость v₁= 5 м/с, равна Подставив в выражение для Т₁ массу m₁ = 800 кг и скорость v₁= 5 м/с, получим:
Найти: Т₁, Т₂, 

2. Удар молота о сваю неупругий, поэтому после удара молот и свая будут двигаться вместе с одинаковой скоростью u. Величину u в момент удара найдем, воспользовавшись законом сохранения импульса при ударе

m₁v₁+m₂v₂ = (m₁ + m₂)u,
с учетом того, что v₁ и u имеют одно и то же направление, а v₂ = 0, так как свая до удара покоилась:

(5)

Скорость u молота и сваи после удара быстро уменьшается до нуля вследствие сопротивления грунта, при этом кинетическая энергия Т₂, равная

(6)
расходуется на погружение сваи в грунт котлована.

Подставив (5) в (6), найдем Т₂:

(7)
После подстановки в (7) численных значений m₁, m₂, Т₁ получим:

3. КПД  при ударе молота о сваю равен отношению полезной энергии Т₂, затраченной на забивание сваи в грунт котлована, к энергии Т₁ падающего молота

Подставив в это отношение выражение

получим

.

После подстановки численных значений m₁ и m₂ получаем:

Ответ. Величина кинетической энергии ударной части молота при ударе Т₁ = 110⁴ Дж; величина энергии, затраченной на погружение сваи в грунт Т₂  2,8610³ Дж; КПД при ударе   29%.
Пример 7. Маховик массой 4 кг свободно вращается с частотой 720 оборотов в минуту вокруг горизонтальной оси, проходящей через его центр. Массу маховика можно считать равномерно распределенной по его ободу радиусом 40 см. Через 30 с после включения постоянного тормозящего момента маховик остановился. Найти тормозящий момент и число оборотов, которое сделает маховик до полной остановки.

21 22

Дано: m = 4 кг n = 720 мин^-1 R = 40 см t = 30 c  = 0	В единицах СИ: n= 12 с^-1 R = 0,4 м	Решение. 1. Для определения тормозящего момента М сил, действующих на вращающееся тело, нужно применить основное уравнение динамики вращательного движения M = J, (8) где J - момент инерции маховика относительно оси, проходящей через центр масс;  = /t - постоянное угловое ускорение маховика. По условию задачи  =  - _о = - _о, где _о - начальная угловая скорость маховика, т. к. конечная угловая скорость  = 0.
Найти: M, N

Выразим начальную угловую скорость через частоту вращения маховика _о = 2n. Тогда  = - 2n, а  = 2n/t.

Момент инерции маховика

J = mR²,

где m - масса маховика, R - его радиус.

Тогда после подстановки выражений для J и  в (8) получим:

Произведем вычисления:
М = (2  3,14  12  4  0,16)/30  1,61 Нм (с^-1 кгм²/с = Нм).
2. Угол поворота, то есть угловой путь  за время вращения маховика до полной остановки, может быть определен из решения уравнения для равнозамедленного вращения

(9)

После подстановки в (9) полученных выше выражений _о= 2n и =2n/t, с учетом того, что ₀ = 0, находим:

Так как  = 2N, то число оборотов маховика до его полной остановки составляет

После подстановки численных значений nи t получаем:
N = 12c^-130c/2 = 180.
Ответ. Тормозящий момент М  1,61 Нм; число оборотов, которое сделает маховик до полной остановки, N = 180.
Пример 8. Шарик массой т = 100 г, прикрепленный к невесомой нити длиной l₀= 1м, вращается в горизонтальной плоскости вокруг вертикальной оси с частотой 20 оборотов в секунду. Нить укоротили до длины l₁ = 25 см. Определить частоту вращения шарика n₁ и совершенную при укорачивании нити работу А.

Дано: m = 100 г l₀= 1 м l₁ = 25 см n₀= 20 с^-1	В единицах СИ: m = 0,1 кг l₁ = 0,25 м	Решение: По закону сохранения момента импульса J₀₀ = J₁₁, (10) где - момент инерции шарика при длине нити l₀; - первоначальная угловая скорость вращения; - момент инерции шарика при длине нити l₁; ₁= 2n₁ - угловая скорость вращения шарика при длине нити l₁.
Найти: n₁, А